Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 106 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

106. (FGV-SP) Dois números distintos m e n são retirados aleatoriamente do conjunto {2, 2², 2³, ..., 2¹⁰}. A probabilidade de que log_mn seja um número inteiro é:
a)[tex3]\frac{8}{45}[/tex3]
b)[tex3]\frac{17}{90}[/tex3]
c)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
d)[tex3]\frac{19}{90}[/tex3]
e)[tex3]\frac{2}{9}[/tex3]

Resposta

---

b

[petrasMOD]

Os dois números retirados do conjunto {21; 22; 23; …; 210} são da forma 2^p e 2^q, com p ≠ q e p, q {1; 2; 3; …; 10}.

Desta forma, log_mn = log _2p2^q = [tex3]\frac{q}{p}[/tex3]
Como [tex3]\frac{q}{p}[/tex3] [tex3]\in \mathbb{Z}[/tex3], dos 90 pares (p; q) possíveis de se formar apenas 17 deles servem, a saber; (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (1; 7), (1; 8 ), (1; 9), (1; 10), (2; 4), (2; 6), (2; 8 ), (2; 10), (3; 6), (3; 9), (4; 8 ) e (5; 10).
Portanto a probabilidade pedida é [tex3]\boxed{\frac{17}{90}_{//}}[/tex3]
(Solução:Objetivo)