Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 108 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

108. (FGV-SP) Considere, no plano cartesiano, o pentágono ABCDE, de vértices A(0, 2), B(4, 0), C(2π + 1, 0), D(2π + 1, 4) e E(0, 4).

Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior desse pentágono, a probabilidade de que o ângulo ∠APB seja obtuso é igual a:
a)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
b)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
c)[tex3]\frac{5}{16}[/tex3]
d)[tex3]\frac{3}{8}[/tex3]
e)[tex3]\frac{4}{5}[/tex3]

Resposta

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c)

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1) Se o ponto P é escolhido aleatoriamente no interior do pentágono, o espaço amostral são os pontos do pentágono, de área [tex3]4 . (2\pi +1) -\frac{4.2}{2} = 8π[/tex3]
2) Os pontos P que tornam o ângulo [tex3]\angle APB[/tex3] obtuso são os pontos do semicírculo de diâmetro AB, cuja área é
[tex3]S_{semi} = \frac{1}{2}.\pi.\sqrt5^2 = \frac{5\pi}{2}[/tex3] pois AB = [tex3]2\sqrt5[/tex3]
A probabilidade pedida é
[tex3]\frac{S_{semi}}{S_{penta}}=\frac{\frac{5\pi}{2}}{8 \pi}=\boxed{\frac{5}{16}_{//}}[/tex3]
(Solução:Objetivo)