Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 148 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

148. (Unicamp-SP) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante.
a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas?
b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente até a última fila. Determine o número de cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n.

Resposta

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a)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
b) n² + 7n cadeiras na sala. Para que a sala tenha 144 cadeiras devemos ter n = 9.

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)As oito pessoas poderão sentar-se de P₈ formas diferentes nestes oito lugares.
Dessas P₈ formas, o casal ficará em poltronas vizinhas de 2 . P₇ formas diferentes.
A probabilidade para que isso ocorra é: [tex3]\frac{2.P_7}{P_8} =\frac{2.7!}{8!} = \frac{2}{8} = \boxed{\frac{1}{4}_{//}} [/tex3]

b)O número de cadeiras em cada fila do teatro são os termos da progressão aritmética (8; 10; 12; …; a_n) em que
a_n= 8 + (n –1) . 2 = 2n + 6, sendo n o número de filas da sala.
O número de cadeiras da sala é dado por: [tex3]S_n= \frac{(a_1+a_n).n}{2}=\frac{(8+2n+6)n}{2} = \boxed{n^2+ 7n_{//}}[/tex3]

Para que a sala contenha 144 cadeiras, devemos ter n²+ 7n = 144 ⇒ n²+ 7n –144 = 0 ⇒[tex3] \boxed{n = 9_{//}}[/tex3], pois n ∈ [tex3]\mathbb{N}[/tex3]*
(Solução:Objetivo)