Pré-Vestibular ⇒ MACKENZIE Geometria plana Tópico resolvido

[Grisha]

MACKENZIE As medidas dos lados de um triangulo retangulo estão em progressão aritmética. Se b é a medida do maior cateto, a área do triangulo é:

a)[tex3]\frac{4b²}{3}[/tex3]

b)[tex3]\frac{3b²}{2}[/tex3]

c)[tex3]4b²[/tex3]

d)[tex3]\frac{3b²}{8}[/tex3]

e)[tex3]b²[/tex3]

Resposta

---

D

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• Um triangulo retângulo.

• Em progressão aritmética.

• b é a medida do maior cateto.

• A área do triangulo é:

Resolução:

• Cateto menor: [tex3]\displaystyle \sf b- r [/tex3]

• Cateto maior: [tex3]\displaystyle \sf b [/tex3]

• hipotenusa: [tex3]\displaystyle \sf b + r [/tex3]

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

[tex3] \displaystyle \sf h^2 = c^2 +C^2 \implies (\, b+r\,)^2 = (\, b-r\,)^2 + b^2[/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf b^2 +2br + r^2 = b^2 - 2br + r² + b^2 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf b^2 -b^2-b^2 +2br+ 2br+r^2 - r^2 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf -b^2 +4br = 0 \implies b^2-4br = 0 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf b \cdot (\, b -4r\,) = 0 \implies b = 0 ~e ~ r = \dfrac{b}{4} \; \: b, ~ com ~ \ne 0 [/tex3]

Assim, os lados são:

• Cateto menor: [tex3]\displaystyle \sf b = 3r [/tex3]

• Cateto maior: [tex3]\displaystyle \sf b = 4r [/tex3]

• hipotenusa: [tex3]\displaystyle \sf b = 5r [/tex3]

A área a do triângulo retângulo é:

[tex3] \displaystyle \sf A = \dfrac{1}{2} \times (\text{cateto menor}) \times (\text{cateto maior}) [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf A = \dfrac{1}{2} \times (3r) \times (4r) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = \dfrac{1}{2} \times 12r^2 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = 6r^2 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = 6 \cdot \left(\dfrac{b}{4}\right)^2 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = 6 \left(\dfrac{b^2}{16}\right) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = \dfrac{6b^2}{16} [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \colorbox{#FFBF00}{ $ \sf A = \dfrac{3b^2}{8} $} [/tex3]

Alternativa correta é a letra D.