Ensino Fundamental ⇒ Teorema das bissetrizes

[Marycs09]

Seja ABC um triângulo com lados AB = 3, AC = 4 e BC = 5. Seja também Do ponto sobre o lado BC, tal que AD é a bissetriz interna do ângulo A. Se l é o incentro de ABC, calcule o que se pede.

a) A medida do segmento BD
b) A razão em que o ponto I divide a bissetriz interna Al.

[petrasMOD]

De acordo com o Teorema da Bissetriz Interna, a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
Para o triângulo ABC com bissetriz [tex3](AD):\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)[/tex3]
Substituindo os valores conhecidos (AB=3) e (AC=4): [tex3]\(\frac{BD}{CD}=\frac{3}{4}\implies CD=\frac{4}{3}BD\)[/tex3]
Como (D) está sobre o lado (BC), temos (BD+CD=BC=5).
Substituindo a relação anterior:[tex3]BD+\frac{4}{3}BD=5\implies \frac{7}{3}BD=5 \implies \boxed {BD=\frac{15}{7} } [/tex3]

O Incentro (I) de um triângulo divide a bissetriz interna (AD) em uma razão específica dependente dos comprimentos dos lados do triângulo.
A fórmula para essa razão é:[tex3]\frac{AI}{ID}=\frac{AB+AC}{BC}[/tex3]
Utilizando os valores dos lados (AB=3), (AC=4) e (BC=5):[tex3]\frac{AI}{ID}=\frac{3+4}{5}=\boxed{\frac{7}{5}}[/tex3]