Ensino Médio ⇒ Geometria - Projeção ortogonal de triângulo Tópico resolvido

[FISMAQUIM]

Um segmento AB de 8 m de comprimento está contido em um plano π, um ponto P exterior ao plano dista 12 m do segmento. Calcule a distância de P ao plano π se PA = PB e QB = 5 m.

Resposta

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10

[petrasMOD]

@FISMAQUIM
Gabarito errado,

Triângulo PMB (no plano inclinado PAB):Ângulo reto em M.
Catetos: PM = 12 e MB = 4.Hipotenusa: [tex3]PB^2 = 12^2+4^2 = 160 \therefore PB=\sqrt{160}.
[/tex3]
Triângulo QMB (no plano[tex3] \pi[/tex3]):
Ângulo reto em M (pois em um triângulo isósceles PAB, a projeção de P em um plano onde AB está, se PA=PB, faz com que QM seja perpendicular a AB).
Hipotenusa: QB = 5
Cateto: MB = 4.Logo, o cateto QM = 3 (o famoso triângulo 3-4-5).

Triângulo PQM (o triângulo da altura PQ):
Ângulo reto em Q
Hipotenusa: PM = 12 (distância de P ao segmento AB).
Cateto: QM = 3 (distância da projeção ao segmento).
Cateto: PQ (distância ao plano [tex3]\pi[/tex3]).no [tex3]\triangle PQM:PQ^2 + QM^2 = PM^2 \implies PQ^2 + 3^2 = 12^2\\PQ^2 + 9 = 144\\PQ^2 = 135 \implies PQ = \sqrt{135} = \boxed{3\sqrt{15}} [/tex3]

[FISMAQUIM]

petras, muito obrigado