Pré-Vestibular ⇒ (AREF- Noções de matemática)- Localização das raízes Tópico resolvido

[K1llua]

Compare os números [tex3]-1,\,1,\,2 [/tex3] e [tex3]3[/tex3] com as raízes da equação:

[tex3]\left ( x-1 \right )\left ( x-3 \right )-m\left ( x+1 \right )(x-2)=0[/tex3], [tex3]m\neq 1[/tex3].

Gabarito:

Resposta

---

[tex3]m< 0,\, -1< x_{1}< 1< 2< x_{2}< 3[/tex3]
[tex3]0< m< 1,\,-1< 1< x_{1}< 2< 3< x_{2}[/tex3]
[tex3]1< m,\,x_{1}< -1< 1< x_{2}< 2< 3[/tex3]

Alguém por gentileza, poderia me ajudar nessa questão?

[petrasMOD]

K1llua,

[tex3](x^2 - 4x + 3) - m(x^2 - x - 2) = 0 \implies(1-m)x^2 - (4-m)x + (3+2m) = 0[/tex3]
Pontos Críticos
Para x = 1:[tex3]f(1) = (1-1)(1-3) - m(1+1)(1-2) = -m(2)(-1) = \mathbf{2m}[/tex3]
Para x = 3:[tex3]f(3) = (3-1)(3-3) - m(3+1)(3-2) = -m(4)(1) = \mathbf{-4m}[/tex3]
Para x = -1:[tex3]f(-1) = (-1-1)(-1-3) - m(-1+1)(-1-2) = (-2)(-4) = \mathbf{8}[/tex3]
Para x = 2:[tex3]f(2) = (2-1)(2-3) - m(2+1)(2-2) = (1)(-1) = \mathbf{-1}[/tex3]

Se m < 0:
As raízes estão distribuídas nos intervalos: -1 < x₁ < 1 < 2 < x₂ < 3
(Pois ocorre mudança de sinal entre f(-1) e f(1), e entre f(2) e f(3)).

Se 0 < m < 1:
f(1) = 2m (positivo)
f(2) = -1 (negativo) [tex3]\rightarrow x_1[/tex3] entre 1 e 2
f(3) = -4m (negativo) Como 1-m (o termo de x²) é positivo, a parábola é para cima. Se f(3) é negativo, a outra raiz (x₂) deve estar à direita de 3.
-1 < 1 < x₁ < 2 < 3 < x₂

Se m > 1:
Neste caso, o coeficiente de x², que é (1-m), torna-se negativo. A parábola é para baixo [tex3](\cap)[/tex3]
f(-1) = 8 (positivo)
Como a concavidade é para baixo e em -1 ela é positiva, a raiz x₁ deve estar à esquerda de -1.
f(1) = 2m (positivo)
f(2) = -1 (negativo) [tex3]\rightarrow x_2~ entre ~1~ e ~2[/tex3]
x₁ < -1 < 1 < x₂ < 2 < 3