Ensino Médio ⇒ Probabilidade

[nosbier]

Um casal e seus três filhos posam aleatoriamente, lado a lado, para tirar uma fotografia. Determine a probabilidade de o pai se posicionar
a) no centro ou a mãe se posicionar na extremidade direita;
b) no centro, sabendo que a mãe se posicionará na extremidade direita;
c) ao lado da mãe, sabendo que ela se posicionará no centro.

Respostas:
a) 35% b) 25% c) 50%

[petrasMOD]

nosbier,

Espaço amostral (S): = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
a) O pai no centro OU a mãe na extremidade direita
[tex3]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)[/tex3]
Evento A (Pai no centro): Fixamos o pai no centro (_ _ P _ _). Restam 4 pessoas para 4 lugares.
n(A) = 4! = 24.
Evento B (Mãe na direita): Fixamos a mãe na ponta direita (_ _ _ _ M). Restam 4 pessoas para 4 lugares.
n(B) = 4! = 24.
Interseção (Pai no centro E Mãe na direita): Fixamos ambos (_ _ P _ M). Restam 3 pessoas (os filhos) para 3 lugares[tex3]n(A \cap B) = 3! = 6[/tex3].
[tex3]P(A \cup B) = \frac{24 + 24 - 6}{120} = \frac{42}{120} = \frac{7}{20} = 0,35= 35\%[/tex3].

b) Pai no centro, sabendo que a mãe está na direita. Esta é uma probabilidade condicional. Quando sabemos que a mãe está na direita, nosso "universo" (espaço amostral reduzido) passa a ser apenas as formas onde ela está naquela posição.
Novo total (Mãe na direita): Já vimos que são 4! = 24 formas.
Casos favoráveis (Pai no centro com Mãe na direita): Já vimos que são 3! = 6 formas.
[tex3]P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0,25= 25\%.[/tex3]

c) Ao lado da mãe, sabendo que ela está no centro. Novamente, uma probabilidade condicional.
Novo total (Mãe fixa no centro): Fixamos a mãe (_ _ M _ _). Restam 4 pessoas para permutar nos outros lugares.n(total) = 4! = 24.
Casos favoráveis (Pai ao lado da mãe): Para o pai estar ao lado da mãe que está no centro, ele só tem 2 posições possíveis: imediatamente à esquerda ou imediatamente à direita da mãe.
Se o pai está à esquerda (_ P M _ _): restam 3 pessoas para 3 lugares (3! = 6).
Se o pai está à direita (_ _ M P _): restam 3 pessoas para 3 lugares (3! = 6).
Total de casos favoráveis = 6 + 6 = 12.
[tex3]P = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0,50= 50\%.[/tex3]