Ensino Médio ⇒ Conjuntos.

[IasminSS]

(IME) Sejam
[tex3]W= [/tex3] {[tex3]y∈\mathbb{R}|2k+1\leq y\leq 3k-5[/tex3]}
[tex3]S= [/tex3]{[tex3]3\leq y\leq 22[/tex3]}
Qual é o conjunto dos valores de [tex3]K\in \mathbb{R}[/tex3] para o qual [tex3]W\neq Ø[/tex3] e [tex3]W⊄(w∩S)[/tex3]?

(A) {[tex3]1\leq k\leq 9[/tex3]}
(B) {[tex3]k\leq 9[/tex3]}
(C) {[tex3]6\leq k\leq 9[/tex3]}
(D) {[tex3]k\leq 6[/tex3]}
(E) Ø

Minha resolução:
[tex3]2k+1\leq 3\rightarrow k\leq 1[/tex3]
[tex3]3k-5\geq 22\rightarrow k\geq 9[/tex3]

[tex3]k\leq 1∩k\geq 9= Ø[/tex3]
Resposta: (E).

Minha resolução está correta? Se não estiver, por favor, me mostrem a resolução correta.

[petrasMOD]

Enunciado tem erro...cuidado ao transcrever as questões.
Sejam W = {y ∈ ℜ|2k + 1 ≤ y ≤ 3k − 5} e S = {y ∈ ℜ|3 ≤ y ≤ 22}. Qual é o conjunto dos valores de k ∈ ℜ para o qual W ≠ ∅ e [tex3]\color{red}{W\underline{\subset}} (W \cap S)[/tex3]

Dizer que [tex3]W \subseteq (W \cap S)[/tex3] é matematicamente equivalente a dizer que W está totalmente contido em S.
Isso acontece porque a interseção ([tex3]W \cap S[/tex3]) já é, por definição, um subconjunto de W; para que W seja subconjunto dela, eles devem ser iguais naquela região, o que só ocorre se nenhum elemento de W estiver fora de S.
Para [tex3]W \neq \varnothing[/tex3] (Não vazio)
Para que o intervalo [2k + 1, 3k - 5] exista, o limite inferior deve ser menor ou igual ao superior:[tex3]2k + 1 \leq 3k - 5 \implies1 + 5 \leq 3k - 2k \therefore k \geq 6[/tex3].
Para [tex3]W \subseteq S[/tex3]
Para que o conjunto W = [2k + 1, 3k - 5] esteja contido em S = [3, 22], ambos os extremos de W devem respeitar os limites de S:
O início de W deve ser maior ou igual ao início de S:
[tex3]2k + 1 \geq 3 \implies 2k \geq 2 \therefore k \geq 1[/tex3]
O fim de W deve ser menor ou igual ao fim de S[tex3]:3k - 5 \leq 22 \implies 3k \leq 27 \therefore k \leq 9[/tex3]
Agora, devemos encontrar os valores de k que satisfaçam todas as desigualdades ao mesmo tempo:[tex3]k \geq 6[/tex3] (Garante que W existe)[tex3]k \geq 1[/tex3] (Garante que W não começa antes de S) [tex3]k \leq 9[/tex3] (Garante que W não termina depois de S)
Combinando [tex3]k \geq 6, k \geq 1 ~e~ k \leq 9[/tex3], o intervalo resultante é:[tex3]\boxed{6 \leq k \leq 9_{//}}[/tex3]