Ensino Médio ⇒ Função Tópico resolvido

[chato01]

considere que a função 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] seja periódica com período 6 e seja estritamente crescente no intervalo [4,10]. Logo, podemos afirmar que:
obs: se poder explicar detalhado agradeço.

A) 𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8).

B) 𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16).

C) 𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22).

D) 𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27).

[petrasMOD]

chato01,

Periodicidade: [tex3]f(x) = f(x \pm 6)[/tex3].
Crescimento: Se [tex3] 4 \le a < b \le 10 \Rightarrow f(a) < f(b)[/tex3].
Pontos Notáveis: Como o contradomínio é [-3, 7] e a função cresce no intervalo [4, 10], temos:
f(4) = f(10) = f(16) = ... = -3 (Início de cada ciclo/valor mínimo).
O valor máximo (7) ocorre imediatamente antes de completar o ciclo (limite à esquerda de cada período).
A) f(10) = f(25) e f(4) < f(8)
f(25): Subtraindo o período: 25 - (3 . 6) = 25 - 18 = 7. Logo, f(25) = f(7).
Como f(10) = -3 (reinício do ciclo) e f(7) está no meio da subida, [tex3]f(10) \neq f(25)[/tex3]. Incorreta.
B) f(12) = f(24) e f(15) < f(16)
f(12) e f(24): f(12) = f(12-6) = f(6).
f(24) = f(24-18) = f(6).
A igualdade é verdadeira.
f(15) < f(16):f(15) = f(15-6) = f(9)
f(16) = f(16-12) = f(4).
No intervalo de crescimento, f(9) é um valor alto (próximo de 7) e f(4) é o valor mínimo (-3).
Logo, f(9) > f(4), o que torna f(15) < f(16) falso.Incorreta.
C) f(15) = f(21) e f(21) < f(22)
f(15) = f(21): 21 - 15 = 6. A igualdade é verdadeira pela periodicidade.
f(21) < f(22):f(21) = f(21-12) = f(9).
f(22) = f(22-12) = f(10).
Como f(10) é o ponto onde a função "reseta" para o valor mínimo (-3) e f(9) é um valor alto na subida, f(9) > f(10).Portanto, f(21) > f(22).Incorreta.
D) f(18) = f(24) e f(28) < f(27)
f(18) = f(24): 24 - 18 = 6. Verdadeiro pela periodicidade.
f(28) < f(27):f(28) = f(28 - 24) = f(4). Sabendo que f(4) = -3 (mínimo).f(27) = f(27 - 18) = f(9).
Como a função é crescente no intervalo [4, 10], f(4) é o menor valor possível e f(9) é um valor superior.Logo, -3 < f(9), o que confirma que f(28) < f(27).CORRETA.[tex3]\color{green}{\checkmark}[/tex3]