Ensino Médio ⇒ Logaritmo Tópico resolvido

[cicero444]

Calcule o valor da expressão abaixo:
[tex3]\log \left(\frac{1}{2}\right) + 2 \log \left(\frac{2}{3}\right) + 3 \log \left(\frac{3}{4}\right)+...+ 2020 \log \left(\frac{2020}{2021}\right)[/tex3]

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]\log (2020!) - \log (2020)[/tex3]
c) [tex3]\log (2021!) - \log (2021)[/tex3]
d) [tex3]\log (2021!) - 2020 \log (2020)[/tex3]
e) [tex3]\log (2020!) - 2020 \log (2021)[/tex3]

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex3]\displaystyle \sf \log \left(\dfrac{1}{2}\right) + 2 \log \left(\dfrac{2}{3}\right) + 3 \log \left(\dfrac{3}{4}\right)+...+ 2020\, \log \left(\dfrac{2020}{2021}\right) [/tex3]

Resolução:
Usando propriedades de logaritmos, temos:

[tex3]\displaystyle \sf n \log \left(\dfrac{n}{n+1}\right) = n \left[ \log(n) - \log(n+1) \right] [/tex3]

Aplicando, temos:
[tex3]\displaystyle \sf S = \sum_{n=1}^{2020} n \left[ \log(n) - \log(n+1) \right] [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf S = 1 \cdot \log(1) - 1 \cdot \log(2) + 2 \cdot \log(2) - 2 \cdot \log(3) + 3 \cdot \log(3) - 3 \cdot \log(4) + \dots + 2020 \cdot \log(2020) - 2020 \cdot \log(2021) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf S = \log(1) + \left[ -\log(2) + 2\log(2) \right] + \left[ -2\log(3) + 3\log(3) \right] + \dots + \left[ -2019\log(2020) + 2020\log(2020) \right] - 2020\log(2021) [/tex3]

Simplificando cada grupo:

[tex3]\displaystyle \sf S = \log(1) + \log(2) + \log(3) + \dots + \log(2020) - 2020\log(2021) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \sum_{n=2}^{2020} \left[ n \log n - (n-1) \log n \right] = \sum_{n=2}^{2020} \log n = \log(2\cdot3\cdots2020) = \log(2020!) [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \colorbox{#FFBF00}{ $ \sf S = \log(2020!) - 2020\log(2021) $ } [/tex3]

Resposta correta é a letra E.