Ensino Médio ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[cicero444]

No trapézio abaixo, área(∆DEC)=2021, área(∆AEB)=2023. A área do ∆ADE é

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a)[tex3]\sqrt{2018^2-1}[/tex3]
b)[tex3]\sqrt{2019^2 - 1}[/tex3]
c)[tex3]\sqrt{2020^2 - 1}[/tex3]
d)[tex3]\sqrt{2021^2 - 1}[/tex3]
e)[tex3]\sqrt{2022^2 - 1}[/tex3]

[petrasMOD]

cicero444,

Em qualquer trapézio ABCD (onde AB [tex3]\parallel[/tex3] CD), as diagonais dividem o trapézio em quatro triângulos com as seguintes características:
-Triângulos Laterais Iguais: As áreas dos triângulos adjacentes aos lados não paralelos são iguais. seja, [tex3]\text{área}(\triangle ADE) = \text{área}(\triangle BCE).[/tex3] Vamos chamar essa área de X.
-Relação de Semelhança: [tex3]\triangle DEC \sim \triangle AEB[/tex3]
-Em qualquer quadrilátero convexo, o produto das áreas dos triângulos opostos formados pelas diagonais é igual(I):
[tex3]\text{área}(\triangle ADE) \cdot \text{área}(\triangle BCE) = \text{área}(\triangle DEC) \cdot \text{área}(\triangle AEB)[/tex3]
[tex3]\text{área}(\triangle ADE) = \text{área}(\triangle BCE) = X\\\\ Substituindo: X \cdot X = 2021 \cdot 2023\\\\X^2 = 2021 \cdot 2023[/tex3]
Para chegar ao formato das alternativas, podemos usar a identidade de produto da soma pela diferença[tex3]:(n-1)(n+1) = n^2 - 1 \implies X^2 = (2022 - 1)(2022 + 1)= 2022^2 - 1\\
\therefore X = \sqrt{2022^2 - 1}[/tex3]

Demonstração de (I):
AE = x, EC = y
h2 = altura do ΔDEC
h1 = altura ΔAEB
AB = B
CD = b
SΔDEC = S2
SΔAEB = S1
[tex3]\triangle DEC \sim \triangle BEA\\
\frac{B}{b} = \frac{x}{y} = \frac{h_1}{h_2} \\
(\frac{h_1}{h_2})^2 = \frac{S_1}{S_2} = (\frac{B}{b})^2 \implies \frac{B}{b} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}[/tex3]
ΔADE e ΔDEC tem amesma altura portanto [tex3]\frac{S_{ADE}}{S_{2}} = \frac{x}{y} = \frac{B}{b} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}\\
\therefore X = S_2.\sqrt{\frac{S_1}{S_2}} = \sqrt{S_2.S_1} \implies \boxed{X^2 =S_2.S_1}[/tex3]