Demonstrações ⇒ Relação do Circuncentro e o Ortocentro Tópico resolvido

[petrasMOD]

A distância do ortocentro a um vértice de um triângulo é o dobro da distância do circuncentro ao lado oposto a esse vértice.

Seja o triângulo ABC
H = Ortocentro
O = Circuncentro
K: ponto médio de AB
T: ponto médido de HA
M: ponto médio de HC

[petrasMOD]

Queremos demonstrar que BH = 2OP

[tex3]OK \perp AB\\
OP \perp AC\\
BH \perp AC\\
AK = KB \wedge AP = PC \implies \triangle ABC: KP_{(basemedia}) = \frac{AB}{2}\\
BT = TH \wedge HM = MC \implies \triangle BHC: MN_{(basemedia)} = \frac{BC}{2}\\
OK \parallel CH: OP \parallel BH:TM \parallel BC \implies \triangle KPO \sim \triangle MTH\\
Mas~KP = TM = \frac{BC}{2} \therefore \triangle KPO \cong \triangle MTH\\
\therefore OP = HT: HT = BT \implies BH = BT + HT = 2HT\\
\therefore \boxed{BH = 2OP} c.q.d.


[/tex3]

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