Ensino Médio ⇒ Relações métricas no triângulo retângulo

[Gu1me]

2. A figura ao lado mostra a planta de um pequeno terreno.

Além do fato de [tex3]\hat{B}[/tex3] e [tex3]\hat{D}[/tex3] serem ângulos retos, a única informação disponível é que os lados do terreno, todos distintos, possuem medidas inteiras em metros.

a) Qual é a menor área possível para esse terreno?

b) É possível a construção de outro terreno quadrangular, semelhante ao primeiro, com o dobro dessa área?

[Gu1me]

@Gu1me
VcÊ irá precisar dos triângulos retângulos de e lados inteiros (também conhecidos como triplas pitagóricas)

Você tem toda razão! A hipotenusa também deve ser um número inteiro para ser uma **tripla pitagórica**. Peço desculpas pelo erro na tabela anterior.

Lado a	Lado b	Hipotenusa c
3	4	5
5	12	13
6	8	10
7	24	25
8	15	17
9	12	15
12	16	20
15	20	25
...	...	...

Traçando a digonal teremos 2 triângulos retângulos de mesma hipotenusa..Como ele quer a de menor área os que tem hipotenusa comum e de menor valor seria 7,24,25 e 15,20 e 25
Portanto a área será de[tex3]\frac{7.24}{2}+\frac{15.20}{2} = 234m^2[/tex3]

Um terreno é semelhante a outro se a razão entre as medidas de seus lados correspondentes for constante.
Se a área de um terreno é A e a de outro é A', e eles são semelhantes, então a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre as medidas dos lados:[tex3]\frac{A'}{A} = k^2 \\
A' = 2A = 2.234 = 468m^2\\
k^2 = \frac{468}{234} = 2 \implies k = \sqrt2[/tex3]

Multiplicando K pelos lados osresultaods não serão inteiros portanto não é possível construir um terreno semelhante com o dobro da área e lados inteiros.

[edu_landim]

@Gu1me
VcÊ irá precisar dos triângulos retângulos de e lados inteiros (também conhecidos como triplas pitagóricas)

Você tem toda razão! A hipotenusa também deve ser um número inteiro para ser uma **tripla pitagórica**. Peço desculpas pelo erro na tabela anterior.

Não entendi por que usou triplas pitagóricas, pois o problema não garante que a diagonal do quadrilátero (ou hipotenusa dos triângulos) tem medida inteira.

Por exemplo, poderíamos ter

(a) um quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] com [tex3]AB = 4, BC = 7, CD = 8, DA = 1[/tex3], temos [tex3]1^2 + 8^2 =65=4^2+7^2[/tex3]. Nesse caso a área do quadrilátero seria [tex3]\frac{1 \cdot 8 + 4 \cdot 7}{2}=18\,\,u.a.[/tex3]

(b) um quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] com [tex3]AB = 8, BC = 9, CD = 12, DA = 1[/tex3], temos [tex3]1^2 + 12^2 =145=8^2+9^2[/tex3]. Nesse caso a área do quadrilátero seria [tex3]\frac{1 \cdot 12 + 8 \cdot 9}{2}=42\,\,u.a.[/tex3]

Outro ponto, se um quadrilátero é semelhante ao original não necessita ter os lados inteiros.

[petrasMOD]

edu_landim,
Tens razao

Yentando somas pequenas:
25 = [tex3] 3^2 + 4^2[/tex3]
50 = [tex3]1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2[/tex3] (não serve, lados devem ser distintos)
65 = [tex3]1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2[/tex3] (Aqui temos quatro valores distintos: 1, 8, 4, 7)
A área do terreno é a soma das áreas dos dois triângulos retângulos:[tex3]S= \frac{a \cdot b}{2} + \frac{c \cdot d}{2} = \frac{1 \cdot 8}{2} + \frac{4 \cdot 7}{2} = 4 + 14 = 18 \text{ m}^2[/tex3]
Se tentarmos valores menores, não encontraremos quatro inteiros distintos que satisfaçam a igualdade das hipotenusas. Portanto, a menor área possível é 18 m².

b) É possível construir um terreno semelhante com o dobro da área?
Para que dois terrenos sejam semelhantes, a razão entre suas áreas deve ser o quadrado da razão de semelhança (k).Se a área do novo terreno é o dobro (S' = 2S), então:[tex3]k^2 = 2 \implies k = \sqrt{2}[/tex3]
Isso significa que cada lado do novo terreno (L') deveria ser o lado original (L) multiplicado por [tex3]\sqrt{2}:L' = L \cdot \sqrt{2}[/tex3]
Se for seguir o padrao de lados inteiro, não, pois teríamos lados com valorese irracionais.
Se não hoiver restrição, sim