Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2026/1) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Considere um poliedro convexo no qual, em cada vértice, incidem quatro arestas e todas as suas faces são ou triangulares ou quadradas. Sabendo que são duas faces quadradas, o número de faces triangulares é:

(A) 6;
(B) 8;
(C) 10;
(D) 12;
(E) 14.

Resposta

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GABARITO: B

[cajuADMIN]

Olá, @ALANSILVA.

Sendo [tex3]V[/tex3] o número de vértices e [tex3]A[/tex3] o número de arestas, e de cada vértice partem 4 arestas, podemos pensar que [tex3]A=4V[/tex3]. Mas, isso está contando duplicadamente cada aresta, já que uma aresta é contabilizada nos 2 vértices das extremidades. Assim, podemos concluir que:

[tex3]A=\frac{4V}{2}\Rightarrow\boxed{V=\frac{A}{2}}\color{red}\text{ (I)}[/tex3]

Digamos que [tex3]F_3[/tex3] é a quantidade de faces triangulares e [tex3]F_4[/tex3] é a quantidade de faces quadradas. Portanto:

[tex3]F_3=n[/tex3]

[tex3]F_4=2[/tex3]

[tex3]F=F_3+F_4\Rightarrow\boxed{F=n+2}\color{red}\text{ (II)}[/tex3]

Cada face triangular gera 3 arestas e cada face quadrada gera 4 arestas. Mas, na hora de montar o poliedro, cada duas arestas geradas viram uma. Portanto, podemos dizer que a quantidade de arestas é:

[tex3]A=\frac{3\cdot F_3+4\cdot F_4}{2}\Rightarrow\boxed{A=\frac{3n+8}{2}}\color{red}\text{ (III)}[/tex3]

Substituindo (III) em (I):

[tex3]\boxed{V=\frac{3n+8}{4}}\color{red}\text{ (IV)}[/tex3]

Agora, substituindo (II), (III) e (IV) na Relação de Euler (sendo um poliedro convexo, podemos utilizá-la):

[tex3]V+F=A+2[/tex3]

[tex3]\frac{3n+8}{4}+n+2=\frac{3n+8}{2}+2\Rightarrow\boxed{\boxed{n=8}}[/tex3]

Portanto, são 8 faces triangulares nesse poliedro.

Gabarito, letra BRAVO.

Grande abraço,
Prof. Caju