Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2026/1) Contagem Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Certo banco exige uma senha de quatro dígitos numéricos, de 0 a 9, no acesso de seu aplicativo. Os dígitos não podem ser repetidos e não podem formar uma sequência crescente. O número de senhas válidas é:

(A) 4180;
(B) 4200;
(C) 4500;
(D) 4750;
(E) 4830.

Resposta

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GABARITO: E

[edu_landim]

Podemos dividir a atividade de formar uma senha em duas etapas: escolher os quatro dígitos distintos e dar uma ordem a eles.

[tex3]\frac{10!}{4! \cdot 6!}= 210[/tex3] modos de escolher quatro dígitos distintos.

[tex3]4!= 24[/tex3] modos de ordenar os dígitos escolhidos, mas num deles os dígitos formam uma sequência crescente, logo [tex3]23[/tex3] modos nos é permitido.

Usando o princípio multiplicativo temos [tex3]23 \cdot 210 =4.830 [/tex3] modos de formar uma senha seguindo as condições do problema. Portanto há [tex3]4.830[/tex3] senhas.

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

Uma senha de quatro dígitos numéricos, sem repetição, tem:

• 10 opções para o primeiro dígito (0 a 9),

• 9 opções para o segundo dígito (excluindo o primeiro),

• 8 opções para o terceiro dígito (excluindo os dois primeiros),

• 7 opções para o quarto dígito (excluindo os três primeiros).

Resolução:

Número total de sequências com 4 dígitos distintos:

[tex3]\displaystyle \sf P(10,4) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = \colorbox{#FFBF00}{5040} [/tex3]

Escolher 4 dígitos distintos entre os 10. A combinação das 4 posições já será em ordem crescente:

[tex3]\displaystyle \sf \binom{10}{4} = \dfrac{10!}{4!(10-4)!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \colorbox{#FF7E00}{210} [/tex3]

O número de sequências crescentes do total de senhas sem repetição:

[tex3]\displaystyle \sf 5040 - 210 =\colorbox{#FF9966}{ 4830 } [/tex3]

Portanto, o número total de senhas válidas é 4830.

A resposta correta é a letra E.