Colégio Naval 1975 ⇒ Questão 13 - CN - 1975 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Os pontos A, B, C, D e E são cinco vértices consecutivos de um decágono regular. Achar o ângulo [tex3]\angle BAE[/tex3].
a) 60º b) 36º c) 45º d) 108º e) 54º

[tex3]a_{i}(decágono)=\frac{(n-2)\times 180^{\circ } }{n} = \frac{(10-2).180^o}{10} = 144^o\\
S_{a_{(ABCDE)}} = (n-2),180^o = (5-2)180^o =540^o \\
\angle BAE = x \implies x+x +3(144^o ) = 540^o \implies \boxed{x =54^o _{//}} [/tex3]

[Kin07]

Resolução:

Determinar a medida do ângulo interno de um decágono regular:

[tex3] \displaystyle \sf \text{Ângulo interno} = \dfrac{(n-2)\times 180^\circ}{n} = \dfrac{(10-2)\times 180^\circ}{10} = \dfrac{8 \times 180}{10} = \colorbox{#FFBF00}{ $ \sf 144^\circ $ } [/tex3]

O ângulo central correspondente a cada lado do decágono inscrito numa circunferência é dado por:

[tex3] \displaystyle \sf \text{Ângulo central} = \dfrac{360^\circ}{10} = \colorbox{#E9D66B}{ $ \sf 36^\circ $ } [/tex3]

O ângulo ∠BAE é a metade do ângulo central entre B e E, pois A é o vértice comum.

[tex3] \displaystyle \sf \angle BAE = \dfrac{\stackrel{\frown}{BE}}{2} = \dfrac{144^\circ - 36^\circ}{2} = \dfrac{108^\circ}{2} = \colorbox{#FF9966}{ $ \sf 54^\circ $ } [/tex3]

O ângulo ∠BAE é 54º.

A alternativa correta é a letra E.