Ensino Fundamental ⇒ Quantas moedas Tópico resolvido

[Usuário Excluído 32428]

Uma pessoa tem moedas de: 5 centavos,10 centavos,25 centavos e de 50 centavos.A quantia que ela tem é R$ 23,00 e ela tem 82 moedas.
O produto do número de moedas de 5 centavos com o número de moedas de 10 centavos é igual a 72 e o produto do número de moedas de 25 centavos com o número de moedas de 50 centavos é 864. Quantas moedas de cada valor essa pessoa tem?

Obrigado

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• x = moedas de 5 centavos (R$ 0,05)

• y = moedas de 10 centavos (R$ 0,10)

• z = moedas de 25 centavos (R$ 0,25)

• w = moedas de 50 centavos (R$ 0,50)

Resolução:

Total de moedas:
[tex3] \displaystyle \sf x+y +z +w = 82 [/tex3]

Total em dinheiro:
[tex3] \displaystyle \sf 0{,}05x + 0{,}10y + 0{,}25z + 0{,}50w = 23{,}00 [/tex3]

Multiplicando por 100 para facilitar, temos:
[tex3] \displaystyle \sf 5x +10y + 25z + 50w = 2300 [/tex3]

Dividindo por 5 para facilitar, temos:
[tex3] \displaystyle \sf x +2y + 5z + 10w = 460 [/tex3]

Produto das de 5 e 10 centavos:
[tex3] \displaystyle \sf x \cdot y = 7 2 [/tex3]

Produto das de 25 e 50 centavos:
[tex3]\displaystyle \sf z \cdot w = 864 [/tex3]

As moedas, x, y, z e w, precisam ser números inteiros e positivos.
Encontrar pares possíveis para x e y:
Listando os pares de inteiros positivos cujo produto é 72:
[tex3] \displaystyle \sf (1,72), (2,36), (3,24), (4,18), (6,12), (8,9), (9,8), (12,6), (18,4), (24,3), (36,2), (72,1) [/tex3]

Encontrar pares possíveis para z e w:

Testando os pares de fatores de 864 que façam sentido (com soma ≤ 82).
Fatores inteiros de 864 com soma razoável: 24 × 36 = 864 (soma = 60).
[tex3]\displaystyle \sf z = 36 ~e ~ w = 24 [/tex3]

Subtraindo da soma das moedas:
[tex3] \displaystyle \sf x +2y + 5z + 10w = 460 [/tex3] - [tex3] \displaystyle \sf x+y +z +w = 82 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf x -x +5y -y +5z-z +10w -w =460-82 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf y + 4z + 9w = 378 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf y + 4 \cdot 36 + 9\cdot 24 = 378 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf y + 144 + 216= 378 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf y + 360 = 378 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf y = 378 - 360 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf y = 18 [/tex3]

Encontrar o valor de x:
[tex3] \displaystyle \sf x \cdot y = 72 \implies 18\, x = 72 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf x = \dfrac{72}{18} = 4 [/tex3]

Verificação:

Total de moedas:
[tex3] \displaystyle \sf 4 + 18 + 36 + 24 = 82 \quad \checkmark [/tex3]

Total do valor:
[tex3]\displaystyle \sf 5 \cdot 4 + 10 \cdot 18 + 25 \cdot 36 + 50 \cdot 24 = 20 + 180 + 900 + 1200 = 2300 \; centavos = R$ \,23{,}00 \quad \checkmark [/tex3]

A pessoa possui:

• 4 moedas de 5 centavos

• 18 moedas de 10 centavos

• 36 moedas de 25 centavos

• 24 moedas de 50 centavos

[Usuário Excluído 32428]

Que ótima solução, não tinha pensado nesse jeito de resolver.Muito obrigado