Ensino Médio ⇒ numeros complexos Tópico resolvido

[cicero444]

Os números complexos são da forma z = a + bi, em que a e b são números reais e i é tal que [tex3]i^{2}[/tex3] = –1 — chamada de unidade imaginária. O plano cartesiano é usado para representar os números complexos geometricamente, como ilustrado na figura 1 abaixo. Representa-se o número complexo z = a + bi como o ponto de coordenadas (a, b). As extremidades dos ponteiros das horas e dos minutos nos relógios, com ilustrado na figura 2, podem ser representadas por pares de números complexos

Considere que, em determinado instante, depois do meio-dia, as extremidades dos ponteiros de um relógio sejam representadas pelos números complexos z = 2i e w = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]+[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] i. Nesse caso, é correto afirmar que os ponteiros marcam
A) 12 h e 5 min.
B) 12 h e 7 min.
C) 12 h e 30 min.
D) 13 horas.
E) 16 h e 7 min.

Gabarito alternativa D

[ProfLaplace]

Precisamos descobrir o seguinte: qual dos dois números representa cada ponteiro, e também qual ângulo cada um forma com o eixo real.
Para responder à primeira pergunta, basta calcular os módulos:
[tex3]|z|=\sqrt{0^2+2^2}=2.[/tex3]
[tex3]|w|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1.[/tex3]
Como o módulo de w é menor, segue que w representa o ponteiro pequeno e z o ponteiro grande.

É facil saber o ângulo (argumento) de z.
Como z é imaginário puro e 2 é positivo, segue que seu afixo (ponta da seta) se situa no semi-eixo positivo y.
Ou seja, o ponteiro grande dos minutos aponta para cima exatamente no número 12.
Isto é, se trata de uma "hora cheia".
Por ser hora cheia, já daria para saber que é letra D, mas vou continuar com o processo completo de qualquer forma.

Vamos achar o argumento principal [tex3]\theta[/tex3] de w.
Lembremos que [tex3]|w|=1.[/tex3]
Pelas relações nos números complexos, temos que:
[tex3]\begin{cases}
\cos{\theta}=\frac{a}{|w|}=a=\frac{1}{2}\\
\sin{\theta}=\frac{b}{|w|}=b=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}[/tex3]
Desses valores, tiramos então que [tex3]\theta=60º.[/tex3]
Logo o ponteiro pequeno das horas aponta exatamente para o número 1.

Ou seja, são exatamente 13h da tarde.
Letra D.