Colégio Naval 1975 ⇒ Questão 03 - CN - 1975 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Uma engrenagem é constituída por duas rodas de raios iguais a 4cm e 3cm que se tangenciam exteriormente. Qual o ângulo descrito pela roda menor enquanto a roda maior gira de um ângulo de 12º48'?
a) 9º36' b) 17º04' c) 20º10' d) 18º25' e) 10º40'

Conversão
[tex3]12^\circ 48' = 768'[/tex3]

[tex3]4 \cdot 768' = 3x \implies x = 1024' '[/tex3]

Raio (cm)-------ângulo
4 ---------- 768'
3 --------- x

As grandezas são inversamente proporcionais, quanto maior o raio menor o ângulo descrito. Logo:
[tex3]3x= 4(768') \implies x = 1024'\\
x= \frac{1024}{60} = \boxed{17^o04_{//}'}[/tex3]





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[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• Raio da roda maior [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf R_1 = 4 \,cm $ } [/tex3]

• Raio da roda menor [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf R_2 = 3 \,cm $ } [/tex3]

• Ângulo da roda maior [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf \theta_1= 12^{\circ}\, 48' $ } [/tex3]

• Ângulo da roda menor [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf \theta_2 = ? $ } [/tex3]

Resolução:

Quando as engrenagens estão conectadas e tangenciam externamente, o comprimento do arco percorrido por cada uma é o mesmo e os pontos de contato têm a mesma velocidade linear.
Isso significa que a velocidade angular de cada roda é inversamente proporcional ao seu raio.

Converter graus em minutos:
[tex3]\displaystyle \sf 12^{\circ} \,48' = 12^{\circ} \, 48' [/tex3]
[tex3]\displaystyle \sf 12^{\circ} \,48' = 12 \cdot 60'+ 48' [/tex3]
[tex3]\displaystyle \sf 12^{\circ} \,48' = 720'+ 48' [/tex3]
[tex3]\displaystyle \sf 12^{\circ} \,48' = \colorbox{#FBCEB1}{768'} [/tex3]

A relação entre os raios e os ângulos é dada por:
[tex3]\displaystyle \sf R_1 \cdot \theta_1 = R_2 \cdot \theta_2 \implies \theta_2 = \theta_1 \cdot \dfrac{R_1}{R_2} [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \theta_2 =768' \cdot \dfrac{4}{3} \implies \theta_2 = \dfrac{3\,072'}{3} [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \theta_2 =\colorbox{#FDEE00}{$ \sf 1\,024' $} [/tex3]

Converter 1024 minutos para graus:

[tex3] \displaystyle \sf\begin{array}{l}
\tt 1024' \hskip 1 em \underline{| ~60 \hskip 1 em} \\
\tt \hskip 0.5 em 424' \hskip 1.2 em \enspace\textcolor{ #FC0FC0}{17^{\circ}} \\
\tt \hskip 1 em \textcolor{#EB4C42}{ 004'} \\
\end{array} [/tex3]


[tex3]\displaystyle \sf \theta_2 =\colorbox{#F28500}{$ \sf 17^{\circ}\,04' $} [/tex3]

O ângulo descrito pela roda menor é 17º 04'.

A alternativa correta é a letra B.