Colégio Naval 1975 ⇒ Questão 22 - CN - 1975 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Achar o produto dos valores inteiros de M que fazem com que a equação em x, [tex3]\frac{4X^2}{M}-Mx+\frac{M}{4}=0[/tex3] não tenha raízes reais
a) 0 b) 1 c) -1 d) -4 e) 4

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[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• Achar o produto dos valores inteiros.

• [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf \dfrac{4x^2}{M}-Mx+\dfrac{M}{4} = 0 $ } [/tex3]

• Não tenha raízes reais.

Resolução:

[tex3] \displaystyle \sf \dfrac{4x^2}{M}-Mx+\dfrac{M}{4}=0 [/tex3], com [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf M \neq 0 $ } [/tex3]

Para que a equação não possua raízes reais, o discriminante deve ser menor que zero [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf (\, \Delta < 0 \,) $ }[/tex3].
[tex3] \displaystyle \sf \Delta = b^2 - 4ac [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \Delta = (-M)^2 - 4\cdot \left(\dfrac{4}{M}\right) \cdot \left(\dfrac{M}{4}\right) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \Delta = M^2 - 4\cdot \left(\dfrac{4M}{4M}\right) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \Delta = M^2 - 4 \cdot (1) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \Delta = M^2 - 4 [/tex3]

A condição para não haver raízes reais é:
[tex3] \displaystyle \sf \Delta < 0 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf M^2 - 4 < 0 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf M^2 < 4 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \sqrt{M^2 } < \sqrt{4} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \mid M \mid < 2 [/tex3]

Os valores inteiros de M que satisfazem [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf -2<M <2 $ }[/tex3] são: [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf M = -1,0,1 $ }[/tex3]

O produto dos valores inteiros de M é:

[tex3]\displaystyle \sf \text{Produto} = (-1) \times (1) = \textcolor{red}{-\,1 } [/tex3]

A alternativa correta é a letra C.