Concursos Públicos ⇒ (CESPE-SEDUC CE 2013) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[cicero444]

Uma caixa de água, cilíndrica, construída sobre um terreno plano, apresentou risco de tombar e necessitou ser amarrada por dois cabos de aço, de modo a ser mantida na vertical. A caixa, na forma de um cilindro circular reto, tem raio externo medindo 2,2 m e a parede lateral tem espessura de 20 cm. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, que contém a base da caixa, a origem O = (0, 0) coincide com o centro da circunferência da base do cilindro. Um dos cabos de aço, esticado, liga o ponto A, localizado na circunferência superior externa do cilindro, ao ponto Q, sobre o eixo Ox, de coordenadas (17,2; 0). O outro cabo de aço, também esticado, liga o ponto B, na circunferência superior externa
do cilindro, ao ponto P, no eixo Oy, de coordenadas (0; 17,2). Os planos que contém os pontos A, O e Q e B, O e P são perpendiculares entre si e também ao plano xOy. As medidas são dadas em metros e os ângulos OQA e OPB medem [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]radianos. A figura abaixo ilustra o cilindro descrito.

Suponha que, em razão da retirada dos cabos de aço que estabilizavam a caixa de água, o cilindro tenha se inclinado, até o final do primeiro mês, 2° em relação à vertical, e, até o final de cada mês seguinte, 50% da inclinação ocorrida no mês anterior, sempre na mesma direção. Nessa situação, a inclinação havida até o final do 8.º mês foi
A) inferior a 3°.
B) superior a 3° e inferior a 4°.
C) superior a 4° e inferior a 5°.
D) superior a 5° e inferior a 6°.
E) superior a 6°.


Gabarito alternativa correta B

[cicero444]

@cicero444,

1.º mês: [tex3]2^\circ[/tex3]
2.º mês: [tex3]50\% 2^\circ = 1^\circ[/tex3]
3.º mês: [tex3]50\% 1^\circ = 0,5^\circ[/tex3]... e assim por diante até o 8.º mês.

Temos uma PG de razão 0,5 e a₁ = 2
[tex3]S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q} = \frac{2 \cdot (1 - 0,5^8)}{1 - 0,5}\approx 3,98[/tex3]
Se continuasse de forma infinita jamais passaria de [tex3]4^\circ[/tex3]
[tex3]S_\infty = \frac{2}{1 - 0,5} = 4^\circ[/tex3]
Portanto, o valor de [tex3]3,98^\circ[/tex3] está no intervalo:Superior a 3° e inferior a 4°.

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• No primeiro mês, inclinação de 2°.

• No segundo mês, inclinação de 50% de 2º → 1º.

• Em cada mês seguinte: A inclinação é 50% da inclinação do mês anterior.

Resolução:

Temos uma progressão geométrica decrescente, com:

• [tex3] \displaystyle \sf a_1 = 2^{\circ} [/tex3]

• [tex3]\displaystyle \sf a_2 = 1^{\circ} [/tex3]

• [tex3]\displaystyle \sf r = \left( \dfrac{1}{2}\right) ^{\circ} [/tex3]

A inclinação total até o 8º mês é a soma dos 8 primeiros termos:
[tex3] \displaystyle \sf S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q} \implies S_8 = 2 \cdot \dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^8}{1 - \dfrac{1}{2} } [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf S_8 = 2 \cdot \dfrac{1 - \dfrac{1}{256} }{ \dfrac{1}{2} } \implies S_8 = 2 \cdot \left( 1 - \dfrac{1}{256} \right) \cdot 2 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf S_8 = 4\cdot \left( \dfrac{256}{256} - \dfrac{1}{256} \right) \implies S_8 = 4\cdot \left( \dfrac{255}{256} \right) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf S_8 = \dfrac{1\,020}{256} \implies \colorbox{#FFBF00}{ $ \sf S_8 \approx 3{,}984375 ^{\circ}$} [/tex3]

Portanto, a inclinação total ao final do 8º mês é aproximadamente 4°, mas ainda menor que 4°.

A alternativa correta é a letra B.