Ensino Fundamental ⇒ Inequações de frações Tópico resolvido

[FISMAQUIM]

Será verdade que [tex3]\frac{1}{4^{3}}+\frac{1}{5^{3}}+\frac{1}{6^{3}}<\frac{1}{12}[/tex3]?

[petrasMOD]

@FISMAQUIM,

O maior valor entre as três frações é [tex3]\frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}[/tex3]. As outras frações são menores que ela.
Vamos supor, para fins de teste, que todas as três frações fossem iguais à maior delas [tex3](\frac{1}{64}):\frac{1}{64} + \frac{1}{125} + \frac{1}{216} < \frac{1}{64} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64}= \frac{3}{64}[/tex3]
Comparando com o limite ([tex3]\frac{1}{12}[/tex3]). Para que [tex3]\frac{3}{64}[/tex3] fosse igual a [tex3]\frac{1}{12},[/tex3] o denominador precisaria ser [tex3]3 \times 12 = \mathbf{36}[/tex3].Como o denominador real (64) é muito maior que 36, a fração [tex3]\frac{3}{64}[/tex3] é muito menor que[tex3] \frac{1}{12}[/tex3].
Conclusão: Se até mesmo a soma de três parcelas de [tex3]\frac{1}{64}[/tex3] (que resulta em [tex3]\approx 0,046[/tex3]) não chega nem perto de [tex3]\frac{1}{12} [/tex3](que é 0,083...), então a soma real, que contém números ainda menores, é verdadeira.[tex3]\frac{3}{64} < \frac{3}{36} = \frac{1}{12}[/tex3]
Portanto, sem fazer contas complexas, provamos que a desigualdade se mantém.

[FISMAQUIM]

@petrasMOD, muito obrigado