Concursos Públicos ⇒ (CESPE-SEDUC CE 2009) Razão entre Áreas Totais Tópico resolvido

[cicero444]

Se um cone circular reto estiver inscrito em um cilindro equilátero de raio da base igual a 3 cm, então, nesse caso, a razão entre a área total do cone e a área total do cilindro é igual a

a) [tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{5}+1}{6}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{\pi }}{2}[/tex3]

Resposta

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gabarito alternativa correta e C

[edu_landim]

Para resolver o problema, inicialmente precisamos entender o significado dos seguintes termos

(a) Cilindro equilátero é um cilindro circular em que qualquer seção meridiana é um quadrado, ou seja, trata-se de um cilindro circular reto cuja altura é igual ao diâmetro da base.

(b) Diz-se que um cone está inscrito num cilindro quando a base do cone é a mesma de uma das base do cilindro e o vértice do cone está contido na outra base do cilindro. No caso específico como o cone é reto, seu vértice está no centro de uma das bases do cilindro. E temos um triângulo retângulo formado por altura [tex3](h)[/tex3], raio da base [tex3](R)[/tex3] e geratriz [tex3](g)[/tex3].

Agora basta lembrar como calcular a área total de cada sólido do problema e deixar todas as medidas em função de [tex3]R[/tex3].

[tex3]A_{T_{CON}} = \pi R^{2} + \pi R g = \pi R^{2} + \pi R \sqrt{R^2 + h^2} = \pi R^{2} + \pi R \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \pi R^2 (1 + \sqrt{5})[/tex3]

[tex3]A_{T_{CIL}} = 2 \pi R^{2} + 2 \pi Rh = 2 \pi R^{2} + 2 \pi R (2R) = 6 \pi R^2[/tex3]

Fazendo a razão, temos

[tex3]\dfrac{A_{T_{CON}}}{A_{T_{CIL}}}=\dfrac{\pi R^2 (1 + \sqrt{5})}{6 \pi R^2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{6}[/tex3]