Concursos Públicos ⇒ (CESPE-SEDUC CE 2009) Função Tópico resolvido

[cicero444]

Considere que a população de determinada cidade cresça à taxa de [tex3]\frac{40000}{\sqrt{t+4}}[/tex3]habitantes por ano, em que t é a quantidade de anos desde 1.º de janeiro de 2001, e que em 1.o/1/2006 a população da cidade era de 100.000 habitantes. Nesse caso, em 1.o/1/2013, a população dessa cidade será de

A) 125.330 habitantes.
B) 136.200 habitantes.
C) 180.000 habitantes.
D) 200.000 habitantes

Resposta

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Alternativa correta é a C

[cicero444]

@cicero444,

A taxa de crescimento é a derivada da população [tex3]P'(t) = \frac{40.000}{\sqrt{t+4}}.[/tex3]
Para achar a população P(t), integramos:[tex3]P(t) = \int 40.000(t+4)^{-1/2} dt$$[/tex3]
Aplicando a regra da integração [tex3](\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1})\\P(t) = 40.000 \cdot \frac{(t+4)^{1/2}}{1/2} + C = 80.000\sqrt{t+4} + C2[/tex3].
Sabemos que em 1/1/2006, o tempo é t = 5 (pois 2006 - 2001 = 5) e a população é 100.000:
[tex3]100.000 = 80.000\sqrt{5+4} + C = 80.000\sqrt{9} + C = 80.000 \cdot 3 + C$= 240.000 + C\\ \implies C = -140.000[/tex3]
A função da população é, portanto: [tex3]P(t) = 80.000\sqrt{t+4} - 140.000[/tex3]

Para o ano de 2013, o tempo é $[tex3]t = 12 (2013 - 2001 = 12)\\P(12) = 80.000\sqrt{12+4} - 140.000 = 80.000\sqrt{16} - 140.000\\P(12) = 80.000 \cdot 4 - 140.000= 320.000 - 140.000\\P(12) = 180.000[/tex3]