Concursos Públicos ⇒ (CESPE-seduc ce 2009) Números Complexos Tópico resolvido

[cicero444]

Se os números complexos [tex3]z[/tex3] e [tex3]w[/tex3] são tais que [tex3]\operatorname{Im} z = (20 - z) \times i,\, i \times w + 3 = i \times \operatorname{Re} w,\, |w| = 5[/tex3] e [tex3]\frac{z}{w}\in \mathbb{R}[/tex3], então, nesse caso, [tex3]|z| + |w|[/tex3] é igual a

a) [tex3]5+10\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]25[/tex3]
c) [tex3]30[/tex3]
d) [tex3]10+15\sqrt{2}[/tex3]

Resposta

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alternativa correta e a C

[ProfLaplace]

[tex3]z=a+bi,[/tex3] mas a primeira informação dada diz que [tex3]b=(20-z)i.[/tex3]
Logo [tex3]z=a+(20-z)i.i=a+(20-z)(-1)=a-20+z.[/tex3]
Assim, [tex3]0=a-20 \Rightarrow a=20\Rightarrow z=20+bi.[/tex3]

[tex3]w=c+di.[/tex3]
[tex3]wi+3=ci \Rightarrow i(c+di)+3=ci \Rightarrow ci+di^2+3=ci \Rightarrow -d+3=0 \Rightarrow d=3.[/tex3]
[tex3]|w|=5 \Rightarrow \sqrt{c^2+d^2}=5 \Rightarrow c^2+3^2=5^2 \Rightarrow c=\pm4.[/tex3]
Logo [tex3]w=\pm4+3i.[/tex3]

Supondo [tex3]w=4+3i,[/tex3] para [tex3]\frac{z}{w}[/tex3] ser real, z deve ser multiplo de w.
Como 20 é 4 vezes 5, segue que b seria 3 vezes 5, que é 15.
Ou seja, [tex3]z=20+15i[/tex3] e [tex3]w=4+3i.[/tex3]
Isso dá [tex3]|z|=\sqrt{20^2+15^2}=25[/tex3] e [tex3]|w|=5.[/tex3]
Dessa forma, [tex3]|z|+|w|=30.[/tex3]

Caso fosse [tex3]w=-4+3i,[/tex3] teríamos que tomar [tex3]b=-15.[/tex3]
Vc pode checar que o resultado de [tex3]|z|+|w|[/tex3] daria o mesmo.

Alternativa C.
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Obs: evite utilizar o símbolo [tex3]\times[/tex3] nesses contextos, pois esse símbolo costuma denotar uma operação chamada produto vetorial. Além também de confundir com x (quando há a letra x no problema).
Vc pode deixar sem símbolo nenhum (como eu fiz acima para agilizar), ou então usar o comando "\cdot".