Concursos Públicos ⇒ IFBA-2016 Tópico resolvido

[MORANGA]

Considere a função [tex3]f[/tex3] definida por [tex3]f(x) = \frac{x^2-3x-4}{x+5}[/tex3]. Os valores de c pertencentes ao intervalos [tex3][-1,\,4][/tex3], tais que [tex3]f(c)'=\frac{ f(4) - f(-1)}{5}[/tex3] é :

a) -1 ou 11
b) 1 ou -11
c) 5/2
d) -1
e) 1

Resposta

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Resposta: E

[petrasMOD]

@MORANGA,
Para x = 4:[tex3]f(4) = \frac{4^2 - 3(4) - 4}{4 + 5} = \frac{16 - 12 - 4}{9} = \frac{0}{9} = 0[/tex3]
Para x = -1:[tex3] f(-1) = \frac{(-1)^2 - 3(-1) - 4}{-1 + 5} = \frac{1 + 3 - 4}{4} = \frac{0}{4} = 0[/tex3]
[tex3]\frac{f(4) - f(-1)}{5} = \frac{0 - 0}{5} = 0[/tex3]
Portanto, precisamos encontrar c tal que f'(c) = 0
Derivada f'(x)
A função é um quociente: [tex3]f(x) = \frac{u}{v}[/tex3], onde [tex3]u = x^2 - 3x - 4[/tex3] e v = x + 5.
Regra do Quociente: [tex3]f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\\u' = 2x - 3:v' = 1\\f'(x) = \frac{(2x - 3)(x + 5) - (x^2 - 3x - 4)(1)}{(x + 5)^2} = \frac{(2x^2 + 10x - 3x - 15) - (x^2 - 3x - 4)}{(x + 5)^2}\\ = \frac{x^2 + 10x - 11}{(x + 5)^2}[/tex3].
Queremos f'(c) = 0. Para que uma fração seja zero, o numerador deve ser zero:
[tex3]c^2 + 10c - 11 = 0[/tex3] Resolvendo as raízes são:[tex3]c_1 = -11;c_2 = 1[/tex3].
Como c está no intervalo [-1, 4], -11 não pertence ao intervalo.Portanto, o único valor de c que satisfaz a condição dentro do intervalo proposto é 1.