Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 1985) Geometria Plana: Ângulos na Circunferência Tópico resolvido

[barbarahass]

Os pontos [tex3]A, B \text{ e } C[/tex3] pertencem a uma circunferência de centro [tex3]O .[/tex3] Sabe-se que [tex3]\overline{OA}[/tex3] é perpendicular a [tex3]\overline {OB}[/tex3] e forma com [tex3]\overline{BC}[/tex3] um ângulo de [tex3]70^\circ.[/tex3] Então, a tangente à circunferência no ponto [tex3]C[/tex3] forma com a reta [tex3]OA[/tex3] um ângulo de:

a) [tex3]10^\circ[/tex3]
b) [tex3]20^\circ[/tex3]
c) [tex3]30^\circ[/tex3]
d) [tex3]40^\circ[/tex3]
e) [tex3]50^\circ[/tex3]

Resposta:

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d

[Thales Gheós]

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[Nicodemus]

α = 70°;
β é o que queremos descobrir;
Y é ponto de intersecção de BC e OA;
D é o encontro do prolongamento de OA com a reta tangente à circunferência que tangencia C.

Como OB é perpendicular a OA, AÔB = 90° e o ângulo OBY = 20°.

O ângulo OBC = ângulo OBY = 20°.

O ângulo OBC e o ângulo BCO são opostos ao raio da circunferência. Pela lei dos senos, BCO = OBC = 20°. Portanto o ângulo COB vale 140°.

CÔY = 50° (140° - 90°).

Note que uma reta tangente a um circunferência forma um ângulo reto com o raio desta.

Então, o ângulo CÔY vale 50° e DCO vale90°. Então β = 40°