IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Circunferência no quadrado Tópico resolvido

[HeitorSntrs]

[tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado de lado [tex3]a[/tex3]. Traçam-se os arcos [tex3]BD[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] com centro em [tex3]A[/tex3] e [tex3]D[/tex3]. Determine a medida do raio [tex3]x[/tex3] da circunferência menor.

[HeitorSntrs]

Olá, @HeitorSntrs.

Traçando os triângulos retângulos AEG e DEG, podemos aplicar Pitágoras em cada um deles e chegar na resposta:

[tex3]\begin{array}{}
\text{Pitágoras em AEG:}\\
\text{Pitágoras em DEG:}
\end{array}
\begin{cases}
(a-x)^2=h^2+x^2\\
(a+x)^2=h^2+(a-x)^2
\end{cases}
[/tex3]

Desenvolvendo os quadrados:

[tex3]
\begin{cases}
a^2-2ax+x^2=h^2+x^2\\
a^2+2ax+x^2=h^2+a^2-2ax+x^2
\end{cases}
[/tex3]

[tex3]
\begin{cases}
a^2-2ax=h^2\\
2ax=h^2-2ax
\end{cases}
[/tex3]

Fazendo a equação de cima MENOS a de baixo:

[tex3]a^2-4ax=2ax[/tex3]

[tex3]a^2=6ax[/tex3]

Como [tex3]a\neq 0[/tex3], podemos dividir ambos os lados por [tex3]a[/tex3]:

[tex3]a=6x\Rightarrow\boxed{\boxed{x=\frac{a}{6}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[HeitorSntrs]

Consegui entender professor. O segmento a+x eu até tinha traçado, porém não enxerguei o a-x. Muito obrigdo, seu fórum tem me ajudado muito