Concursos Públicos ⇒ (CESPE-seduc ce 2013) sequencia de fibonacci Tópico resolvido

[cicero444]

Nos jardins X, Y e Z foram semeadas, respectivamente, as quantidades x, y e z de sementes de determinado tipo de flor. Essas sementes germinaram, deram origem a novas plantas e não foi feita nenhuma nova semeadura. Considerando as matrizes

[tex3]A^{k}[/tex3] é a k-ésima potência de A, [tex3]x_{k}[/tex3],[tex3]y_{k}[/tex3],[tex3]z_{k}[/tex3] representam as quantidades de plantas dessa espécie nos jardins X, Y e Z, respectivamente, k anos depois da semeadura.
Se a e b são números reais, define-se, a partir de a e b, uma sequência de Fibonacci {[tex3]a_{k}[/tex3]} por: [tex3]a_{1}[/tex3] = a, [tex3]a_{2}[/tex3] = b, e [tex3]a_{k}[/tex3] = [tex3]a_{k}[/tex3] – 1 + [tex3]a_{k}[/tex3] – 2, para k [tex3]\leq [/tex3] 2. Nesse sentido, é correto afirmar que
A) apenas {[tex3]x_{k}[/tex3]} é uma sequência de Fibonacci.
B) apenas {[tex3]y_{k}[/tex3]} é uma sequência de Fibonacci.
C)) apenas {[tex3]x_{k}[/tex3]} e {[tex3]y_{k}[/tex3]} são sequências de Fibonacci.
D) apenas {[tex3]x_{k}[/tex3]} e {[tex3]z_{k}[/tex3]} são sequências de Fibonacci.
E) {[tex3]x_{k}[/tex3]}, {[tex3]y_{k}[/tex3]} e {[tex3]z_{k}[/tex3]} são sequências de Fibonacci.

gabarito alternativa C

[cicero444]

@cicero444,
Para analisar quais das sequências [tex3]{x_k}, {y_k} ~e~ {z_k}[/tex3] seguem o padrão de Fibonacci [tex3](a_k = a_{k-1} + a_{k-2}),[/tex3] precisamos observar como cada termo é gerado a partir da relação matricial [tex3]B_k = A \cdot B_{k-1}.[/tex3]
Dada a matriz:[tex3] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}[/tex3]
A relação [tex3]B_k = A \cdot B_{k-1}[/tex3] nos fornece as seguintes equações de recorrência:
[tex3]\begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ z_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{k-1} \\ y_{k-1} \\ z_{k-1} \end{bmatrix}[/tex3]
Realizando a multiplicação teremos:
[tex3]x_k = x_{k-1} + y_{k-1}\\y_k = x_{k-1}\\z_k = x_{k-1} + 2z_{k-1}[/tex3]
Pela equação (2), sabemos que [tex3]y_{k-1} = x_{k-2}[/tex3]. Substituindo isso na equação (1):[tex3]x_k = x_{k-1} + x_{k-2}[/tex3] Isso prova que [tex3]{x_k} [/tex3]é uma sequência de Fibonacci.
Agora, para [tex3] {y_k}[/tex3], sabemos que [tex3]y_k = x_{k-1}[/tex3]. Como [tex3] {x_k} [/tex3] segue a regra de Fibonacci, seus termos deslocados também seguem:[tex3]y_k = x_{k-1} = x_{k-2} + x_{k-3}[/tex3] Substituindo de volta para [tex3]y:y_k = y_{k-1} + y_{k-2}[/tex3]
Isso prova que [tex3]{y_k}[/tex3] também é uma sequência de Fibonacci.
Para a sequência [tex3]{z_k}[/tex3], temos a recorrência:[tex3]z_k = x_{k-1} + 2z_{k-1}[/tex3]. Diferente das anteriores, o termo z depende do dobro do seu valor anterior [tex3](2z_{k-1})[/tex3] e de uma variável externa [tex3](x_{k-1})[/tex3]. Ela não possui a estrutura [tex3]z_k = z_{k-1} + z_{k-2}[/tex3]. Portanto, [tex3]{z_k}[/tex3] não é uma sequência de Fibonacci.
As sequências que satisfazem a definição dada no enunciado são apenas as dos jardins X e Y. Resposta: C