Concursos Públicos ⇒ (CESPE-seduc ce 2013) matrizes Tópico resolvido

[cicero444]

Nos jardins X, Y e Z foram semeadas, respectivamente, as quantidades x, y e z de sementes de determinado tipo de flor. Essas sementes germinaram, deram origem a novas plantas e não foi feitanenhuma nova semeadura. Considerando as matrizes

[tex3]A^{k}[/tex3] é a k-ésima potência de A, [tex3]x_{k}[/tex3], [tex3]y_{k}[/tex3], [tex3]z_{k}[/tex3] representam as quantidades de plantas dessa espécie nos jardins X, Y e Z, respectivamente, k anos depois da semeadura.
Se 2 anos após a semeadura haviam 20, 15 e 29 pés da planta nos jardins X, Y e Z, respectivamente, então, no jardim Y foram semeadas
A 2 sementes.
B 5 sementes.
C 7 sementes.
D 10 sementes.
E 16 sementes.

[petrasMOD]

Como o enunciado informa os valores para 2 anos após a semeadura (k=2), temos a equação:
[tex3]B_2 = A^2 \cdot B[/tex3].
Calculando A² teremos [tex3]A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}[/tex3].
Substituindo A² e os valores de [tex3]B_2 = \begin{bmatrix} 20 \\ 15 \\ 29 \end{bmatrix}[/tex3] na equação original:
[tex3]\begin{bmatrix} 20 \\ 15 \\ 29 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}[/tex3]
Portanto [tex3]2x + y = 20\\x + y = 15\\3x + y + 4z = 29.[/tex3]
Resolvendo o sistema teremos[tex3]\boxed{ y = 10_{//}}[/tex3]