Concursos Públicos ⇒ (UECE-Seduc 2018) função Tópico resolvido

[cicero444]

Considerando as funções reais de variável real são:
[tex3]f(x) = x + \frac{1}{x}[/tex3] e [tex3]g(x) = \frac{x-3}{x-2}[/tex3].
. Os domínios e os conjuntos imagem (ou conjunto de valores) destas funções são identificados por: Dom(f), Im(f), Dom(g) e Im(g) respectivamente.
. R representa o conjunto dos números reais.
O número total de pontos críticos (de máximo local, de mínimo local ou ponto de inflexão) das funções [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] é

A) 2.
B) 3.
C) 1.
D) 4.

Resposta

---

gabarito alternativa correta é a A.

[ProfLaplace]

Conforme a solução da outra questão que eu fiz, já sabemos que [tex3]Dom(f)=\mathbb{R}-\{0\}.[/tex3]
A definição de ponto crítico é:
Um número [tex3]a\in Dom(f)[/tex3] é crítico se [tex3]f'(a)=0[/tex3] ou se [tex3]f'(a)[/tex3] não existir.

Analisando f:
[tex3]f(x)=x+x^{-1} \Rightarrow f'(x)=1+(-1)x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}.[/tex3]
Observe que todo ponto do domínio de f possui então derivada.
Ou seja, a situação da derivada não existir não entra aqui.
(Tome cuidado: a derivada em zero não existiria. Porém, 0 não está no domínio de f, de forma que ele não entra como ponto crítico).
Falta ver se tem algum ponto crítico com derivada zero.
[tex3]f'(x)=0 \iff 1-\frac{1}{x^2}=0 \iff x^2=1 \iff (x=1)\, ou\, (x=-1).[/tex3]
Logo f tem 2 pontos críticos.

Analisando g:
Já sabemos, da outra questão, que [tex3]Dom(g)=\mathbb{R}-\{2\}[/tex3] e [tex3]CD(g)=Im(g)=\mathbb{R}-\{1\}.[/tex3]
Vamos derivar g pela regra do quociente.
[tex3]g'(x)=\frac{1.(x-2)-1.(x-3)}{(x-2)^2}=\frac{1}{(x-2)^2}.[/tex3]
Veja que todo ponto do domínio de g possui derivada.
Falta ver se algum ponto do domínio tem derivada zero.
[tex3]g'(x)=0 \iff \frac{1}{(x-2)^2}=0 \iff 1=0 \,\,\,\,\,[/tex3] (com [tex3]x\neq2[/tex3]).
Ou seja, nenhum x tem derivada zero, de forma que g não tem pontos críticos.

Resposta: o total de pontos críticos é 2 mesmo.

Alternativa A.