Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido

[laurasgmoro]

Trigonometria é uma área da matemática que estuda o cálculo das medidas dos elementos de um triângulo retângulo. Neste contexto, assinale o que for correto.

01) O comprimento do arco [tex3]AB[/tex3], definido numa circunferência de diâmetro [tex3]12 cm[/tex3] e por um ângulo central de [tex3]60º[/tex3], pertence ao intervalo [tex3][5,\,7][/tex3].
02) Se [tex3]A = \frac{\cos (8\pi) + \sen \(\frac{2\pi}{3}\)\cdot \cos \(\frac{2\pi}{3}\)}{\dfrac{\tg \(\frac{\pi}{3}\)\cdot \sen \(\frac{\pi}{2}\)}{2}}[/tex3], então [tex3]A[/tex3] é um número racional.
04) A função [tex3]f(x) = |\sen x|[/tex3] tem [tex3]Im(f) = [0,\,1][/tex3] e período igual a [tex3]2\pi[/tex3].
08) Se [tex3]f(x) = \tg \(x - \frac{\pi}{4}\)[/tex3] então o domínio dessa função é [tex3]D(f) = \left\{x \in \mathbb{R}\,\,\Big\vert\,\,x \ne \frac{3\pi}{4} + k\cdot \pi,\, k \in Z\right\}[/tex3] e seu período é [tex3]\pi[/tex3].

Como fazer a 01) e a 02)?

Resposta

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gabarito: 09

[laurasgmoro]

@laurasgmoro,
01) O comprimento de um arco s é dado por [tex3]s = \theta \cdot r, [/tex3]onde [tex3]\theta[/tex3] deve estar em radianos.
Diâmetro = 12 [tex3]\implies[/tex3] r = 6
[tex3]Ângulo: 60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad}[/tex3].
[tex3]s = \frac{\pi}{3} \cdot 6 = 2\pi \therefore s \approx 6,283. \in [5, 7][/tex3].Item 01: Verdadeiro.
02) [tex3]\cos(8\pi) = \cos(0) = 1\\\text{sen}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \text{sen}(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\\
\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}\\
\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1[/tex3]
Substituindo na expressão:[tex3]A = \frac{1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot -\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{4 - \sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \\A = \frac{4\sqrt{3} - 3}{6}[/tex3]
Como[tex3] \sqrt{3}[/tex3] é irracional, A é um número irracional.Item 02: Falso.
04) Função f(x) = |senx|
Imagem: A função sen x varia entre [-1, 1]. O módulo |sen x| torna todos os valores negativos em positivos,
logo Im(f) = [0, 1]. (Correto)
Período: O período da função sen x é 2[tex3]\pi[/tex3]. No entanto, ao aplicar o módulo, a parte negativa do gráfico (de[tex3] \pi [/tex3] a [tex3] 2\pi[/tex3]) é refletida para cima, repetindo o padrão a cada \pi radianos.
Portanto, o período é P = [tex3]\pi[/tex3].Item 04: Falso.
08) Função [tex3]f(x) = \text{tg}[x - (\frac{\pi}{4})][/tex3]
Domínio: A função tangente tg(u) não é definida quando [tex3] u = \frac{\pi}{2} + k\pi.\\x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k\pi \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + k\pi[/tex3]
O domínio está correto.
Período: Para funções do tipo [tex3]f(x) = \text{tg}(ax + b),[/tex3] o período é [tex3]P = \frac{\pi}{|a|}[/tex3]. Como a = 1, o período é [tex3]\pi[/tex3].Item 08: Verdadeiro.
Soma das corretas: 01 + 08 = 09