Ensino Superior ⇒ Geometria Euclidiana Plana

[Let09]

Sejam ABC e A´B´C´ dois triângulos não retângulo com um ângulo C= C´, AB= A´B´ e BC= B´C´. Dê um exemplo para mostrar que estas hipóteses não acarretam que os triângulos devam ser congruentes.

[Let09]

@Let09,

Pela congruência pelo critério Lado-Ângulo-Lado (LAL) exige que o ângulo igual esteja entre os lados de mesma medida. No exemplo dado, o ângulo C é oposto ao lado AB. Quando o ângulo conhecido é oposto ao menor dos dois lados conhecidos, podem existir duas configurações distintas para o triângulo.
Exemplo de Contraexemplo: Considere as seguintes medidas para os dois triângulos:Lados conhecidos: BC = B'C' = 10 e AB = A'B' = 8.
Ângulo conhecido: C = C' = [tex3]30^\circ[/tex3].
Temos que AB < BC.
Ao tentarmos construir o triângulo, fixamos o segmento CB e o ângulo de [tex3]30^\circ [/tex3]em C. O ponto A deve estar sobre a semirreta que parte de C, e sua distância até B deve ser exatamente 8.
Pela Lei dos Senos:[tex3]\frac{AB}{\text{sen}(C)} = \frac{BC}{\text{sen}(A)} \implies \frac{8}{\text{sen}(30^\circ)} = \frac{10}{\text{sen}(A)}\\\text{sen}(A) = \frac{10 \cdot 0,5}{8} = \frac{5}{8} = 0,62[/tex3]
Existem dois ângulos entre [tex3]0^\circ[/tex3] e [tex3]180^\circ[/tex3] que possuem o mesmo seno:
[tex3]A \approx 38,68^\circ ([/tex3]Ângulo agudo)
[tex3]A' = 180^\circ - 38,68^\circ \approx 141,32^\circ[/tex3] (Ângulo obtuso)
Portanto no Triângulo 1, o ângulo A é agudo. O terceiro ângulo B será[tex3] 180^\circ - (30^\circ + 38,68^\circ) = 111,32^\circ[/tex3].
No Triângulo 2, o ângulo A' é obtuso.
O terceiro ângulo B' será [tex3]180^\circ - (30^\circ + 141,32^\circ) = 8,68^\circ[/tex3].
Como os ângulos internos B e B' são diferentes (e consequentemente os lados AC e A'C também serão), os triângulos não são congruentes, apesar de satisfazerem todas as hipóteses iniciais.