Ensino Médio ⇒ Arranjos: onde está meu erro? Tópico resolvido

[Argean]

Bom dia, Forum. Veja esta questão, aparentemente muito básica de arranjo. Esta materia, pra mim, é a mais complexa, pois tudo depende de saber interpretar a questão. Gostaria de saber onde está o erro da minha interpretação.

Livro Iezzi, Princípios de matemática, pág 6:
De quantas maneiras diferentes um professor poderá escolher um ou mais estudantes de um grupo de 6 estudantes?

Resposta

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Usando a convenção
0: o aluno não é escolhido
1: o aluno é escolhido
notamos que cada aluno será identificado por O ou 1.
Se considerarmos a situação em que nenhum aluno é escolhido,
teremos, pelo princípio fundamental da contagem:
[tex3]\frac{(2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2)}{6 vezes}[/tex3] – 1 = 26 – 1 = 63 possibilidades

.


Minha analise:
Se temos 6 alunos, de quantas formas posso escolhê-los? Poderei escolher um aluno entre 6 (= 6 possibilidades) ou poderei escolher 2 alunos (como a ordem não importa: [tex3]\frac{6.5}{2}[/tex3]) ou poderei escolher 3 alunos (ordem não importa: [tex3]\frac{6.5.4}{2}[/tex3]) ou poderei escolher 4 alunos (ordem não importa: [tex3]\frac{6.5.4.3}{2}[/tex3]) ou poderei escolher 5 alunos (ordem não importa: [tex3]\frac{6.5.4.3.2}{2}[/tex3]) ou poderei escolher 6 alunos dos 6 possíveis (= 1 possibilidade).

Total: 6 + 15 + 60 + 180 + 360 + 1 = 622

Sei que é absurdo mas, para mim, a análise que fiz pareceu ter sentido. Isso mostra como esse assunto é complexo. Aonde está o erro da minha interpretação?

Valeu

[Kin07]

Resolução:

• Para cada estudante, o professor pode optar por incluí-lo na seleção ou não. Assim, para cada um dos 6 estudantes, há 2 opções (incluir ou não incluir).

• O número total de combinações possíveis é [tex3] \sf2^6= 64 [/tex3].

• Entre as 64 combinações calculadas, há apenas 1 maneira de escolher zero estudantes, em que o professor não escolhe nenhum aluno (o "conjunto vazio").

• Assim, temos: [tex3]\sf 64-1 = 63[/tex3].

Outra maneira de obter o resultado:

Somar as combinações de escolher 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 estudantes:
[tex3]\displaystyle \sf \binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6} [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 [/tex3]

O número total de maneiras que o professor pode escolher um ou mais estudantes de um grupo de 6 estudantes é 63.

[Argean]

@Kin07 , bom dia.
Veja. Essa resposta está no meu gabarito. Eu sei que é assim. Mas queria entender aonde eu errei na minha interpretação. Note que, pelo modo como eu interpretei, estou fazendo varias escolhas possiveis entre 6 alunos. Escolhi primeiro apenas um aluno. Outra possibilidade foi escolher 2 alunos. E assim sucessivamente, até escolher apenas um grupo com 6. Desse modo, estou fazendo varias escolhas, de maneiras diferentes, conforme pedido pela questão. Mas esse modo está errado. Aonde está o erro?

Se ficar dificil explicar, tente imaginar uma questão que contemple minha interpretação. Como ela seria?

[cajuADMIN]

Olá, @Argean.

Seu raciocínio está corretíssimo, apenas os cálculos que você fez que estão errados.

A fórmula da combinação é: [tex3]C_{n,\,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}[/tex3]

Escolher 1 aluno = [tex3]C_{6,\,1}=\frac{6!}{1!\cdot(6-1)!}=\boxed{6}[/tex3]
Escolher 2 alunos = [tex3]C_{6,\,2}=\frac{6!}{2!\cdot(6-2)!}=\boxed{15}[/tex3]
Escolher 3 alunos = [tex3]C_{6,\,3}=\frac{6!}{3!\cdot(6-3)!}=\boxed{20}[/tex3]
Escolher 4 alunos = [tex3]C_{6,\,4}=\frac{6!}{4!\cdot(6-4)!}=\boxed{15}[/tex3]
Escolher 5 alunos = [tex3]C_{6,\,5}=\frac{6!}{5!\cdot(6-5)!}=\boxed{6}[/tex3]
Escolher 6 alunos = [tex3]C_{6,\,6}=\frac{6!}{6!\cdot(6-6)!}=\boxed{1}[/tex3]

Total [tex3]= 6+15+20+15+6+1=\boxed{\boxed{63}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[Argean]

@cajuADMIN , grande mestre!! Vc não sabe como me alegro saber disso. Eu simplesmente odeio esse assunto. Saber que não estou de todo errado me tranquiliza. Muitíssimo obrigado pela aula