Ensino Médio ⇒ Pontos notáveis no triângulo Tópico resolvido

[fabinhosnow]

Em um triângulo ABC com m(ABC) - m(BAC) = 50°, a bissetriz do ângulo ACB intersecta o lado AB em D. Seja E o ponto do lado AC tal que m(CDE) = 90°, a medida do ângulo ADE é:
a)25°
b)30°
c)40°
d)45°
e)50°

Sem gabarito...

[petrasMOD]

@fabinhosnow,

[tex3]m(BAC) = \alpha\\
m(ABC) = \beta\\
m(ACB) = 2\gamma \\
\beta - \alpha = 50^\circ \implies \beta = \alpha + 50^\circ
[/tex3]
No triângulo [tex3]\triangle ADC:m(ADC) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)[/tex3]
[tex3]m(CDE) = 90^\circ[/tex3].
Seja [tex3]\theta = m(ADE)[/tex3]
[tex3]m(CDB) = 180^\circ - m(ADC) = \alpha + \gamma[/tex3]
[tex3]m(CDB) = 180^o - (\beta + \gamma)[/tex3]
[tex3]\triangle BDC:m(CDB) = 180^\circ - (\beta + \gamma)[/tex3]
[tex3]m(ADC) = \theta + 90^\circ\\[/tex3]
Substituindo m(ADC):[tex3]180^\circ - \alpha - \gamma = \theta + 90^\circ \implies\theta = 90^\circ - (\alpha + \gamma) \quad \text{(Equação 1)}[/tex3]
[tex3]\triangle ABC:\alpha + \beta + 2\gamma = 180^\circ\\
Substituindo \beta = \alpha + 50^\circ:\alpha + (\alpha + 50^\circ) + 2\gamma = 180^\circ\\2\alpha + 2\gamma = 130^\circ(\div2) \implies\alpha + \gamma = 65^\circ[/tex3]
Substituindo o valor de [tex3](\alpha + \gamma)[/tex3] na Equação 1:
[tex3]\theta = 90^\circ - (\alpha + \gamma)\\\theta = 90^\circ - 65^\circ =\boxed{ 25^\circ_{//}}[/tex3]