Olimpíadas ⇒ (EUA) Polígono

[gabrielifce]

Exatamente três dos angulos internos de um poligono convexo são obtusos. Qual o número máximo de lados desse polígono
resposta:6

[gabrielifce]

@gabrielifce,

Seja n o número de lados do polígono.
O problema nos diz que exatamente 3 ângulos internos são obtusos ([tex3]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 > 90^{\circ}) [/tex3]e os demais n - 3 ângulos ([tex3]\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-3}[/tex3]) não são obtusos ([tex3]\beta_i \leq 90^{\circ}[/tex3]).
Soma dos ângulos obtusos:Sabemos que cada um desses 3 ângulos é menor que [tex3]180^{\circ}[/tex3] (pois o polígono é convexo). Portanto:[tex3]S_{obtusos} < 3 \times 180^{\circ} = 540^{\circ}[/tex3]
Soma dos ângulos não obtusos:Como os outros n - 3 ângulos são menores ou iguais a [tex3]90^{\circ}, [/tex3]temos:[tex3]S_{não\_obtusos} \leq (n - 3) \times 90^{\circ}[/tex3]
Soma Total ([tex3]S_i[/tex3]):A soma de todos os ângulos internos deve ser exatamente
[tex3](n - 2) \cdot 180^{\circ}[/tex3].
Assim:[tex3](n - 2) \cdot 180^{\circ} = S_{obtusos} + S_{não\_obtusos} \implies(n - 2) \cdot 180^{\circ} < 540^{\circ} + (n - 3) \cdot 90^{\circ}\\180n - 360 < 540 + 90n - 270 \implies180n - 90n < 540 - 270 + 360\\90n < 630 \therefore n< 7[/tex3]
Como n deve ser um número inteiro, o maior valor possível para n que satisfaz a condição de ser menor que 7 é 6.