Ensino Médio ⇒ Quadriláteros Tópico resolvido

[athineias]

Em um trapézio retângulo [tex3]ABCD[/tex3], considere o ponto [tex3]M[/tex3], médio do maior lado oblíquo [tex3]BC[/tex3]. Se a base menor [tex3]DC[/tex3] congruente ao segmento [tex3]CM[/tex3] e o ângulo [tex3]AMC = 126[/tex3] a medida do ângulo [tex3]B[/tex3] do trapézio é:

​a) 42°
b) 63°
c) 84°
d) 105°
e) 126°

[athineias]

@athineias,

Sabemos que M é o ponto médio de BC, logo BM = MC.
[tex3]DC \cong CM[/tex3], portanto: DC = CM = BM
Como DC = CM, o triângulo [tex3]\triangle MCD[/tex3] é isósceles.
Sejam os ângulos da base [tex3]\angle MDC = \angle DMC = \beta[/tex3].
[tex3]\triangle MCD:\angle MCD = 180^\circ - 2\beta[/tex3].
Trace uma reta paralela às bases passando por M, que intercepta AD no ponto N.Como M é o ponto médio de BC e [tex3]MN \parallel DC[/tex3], então MN é a base média do trapézio.
Pela propriedade da base média: [tex3]MN \perp AD[/tex3] (pois as bases são perpendiculares a AD).
No triângulo retângulo [tex3]\triangle DNM[/tex3], o ângulo [tex3]\angle MND = 90^\circ[/tex3].Como N é o ponto médio de AD (propriedade da base média), temos AN = ND.Isso torna MN a mediatriz de AD. Consequentemente, MA = MD.
Se MA = MD, o triângulo [tex3]\triangle MAD[/tex3] é isósceles, e os ângulos [tex3]\angle MAN = \angle MDN[/tex3]
No vértice D, temos [tex3]\angle ADC = 90^\circ[/tex3].Sabemos que [tex3]\angle MDC = \beta \therefore \angle MDN = 90^\circ - \beta.[/tex3]
Como [tex3]\triangle MAD[/tex3] é isósceles: [tex3]\angle MAN = 90^\circ - \beta[/tex3].
[tex3]\angle AMC = \angle AMD + \angle DMC\\
\angle AMC = \angle AMD + \beta = 126^\circ[/tex3].
No triângulo [tex3]\triangle MAD[/tex3]: [tex3]\angle AMD + (90^\circ - \beta) + (90^\circ - \beta) = 180^\circ \implies \angle AMD = 2\beta[/tex3].
Substituindo na Equação:[tex3]2\beta + \beta = 126^\circ \implies 3\beta = 126^\circ \implies \beta = 42^\circ[/tex3].
O ângulo[tex3] \angle B[/tex3] do trapézio é o ângulo suplementar ao ângulo [tex3]\angle MCD[/tex3] (pois [tex3]AB \parallel DC[/tex3]):[tex3]\angle MCD = 180^\circ - 2\beta = 180^\circ - 2(42^\circ) = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ[/tex3].
Como [tex3]\angle B + \angle MCD = 180^\circ[/tex3] (ângulos colaterais internos):[tex3]\angle B = 180^\circ - 96^\circ = \boxed{84^\circ}[/tex3]