Física I ⇒ Lançamento Vertical Tópico resolvido

[Cazé]

Uma arma é colocada na base de uma colina cuja inclinação com a horizontal é [tex3]\phi[/tex3]. Se a arma está inclinada com ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com a horizontal e a velocidade inicial e [tex3]V_0[/tex3], calcular a distância, medida ao longo da colina, da arma ao ponto de queda do projétil.

[Kin07]

• Dados fornecidos pelo enunciado:

• Inclinação da colina: [tex3] \sf \phi [/tex3]

• Ângulo de lançamento: [tex3] \alpha[/tex3]

• Velocidade inicial: [tex3]\sf V_0[/tex3]

• Gravidade: [tex3]\sf G[/tex3]

Resolução:

Componentes da velocidade:

• Horizontal: [tex3] \sf V_{0x} = V_0 \cos\alpha [/tex3]

• Vertical: [tex3]\sf V_{0y} = V_0 \sin\alpha[/tex3]

Equações paramétricas do movimento:

• [tex3] \displaystyle \sf x(t) = V_0 \cos\alpha \, t[/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf y(t) = V_0 \sin\alpha \, t - \dfrac{1}{2} g t^2[/tex3]

A equação da colina é:

• [tex3]\displaystyle \sf y = x \tan\phi [/tex3]

Encontrando o ponto de impacto, temos:

[tex3]\displaystyle \sf V_0 \sin\alpha \cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2 = V_0 \cos\alpha \cdot t \cdot \tan\phi[/tex3]

Fatorando t:
[tex3]\displaystyle \sf t \left( V_0 \sin\alpha - V_0 \cos\alpha \tan\phi - \dfrac{1}{2}gt \right) = 0 [/tex3]

Desprezando t = 0, temos:

[tex3] \displaystyle \sf
V_0 \sin\alpha - V_0 \cos\alpha \tan\phi = \dfrac{1}{2}gt [/tex3]

Agora use:
[tex3]\displaystyle \sf \tan\phi = \dfrac{\sin\phi}{\cos\phi} [/tex3]

Então:
[tex3] \displaystyle \sf V_0 \cdot \left( \sin\alpha - \cos\alpha \cdot \dfrac{\sin\phi}{\cos\phi} \right)
= V_0 \cdot \dfrac{\sin(\alpha - \phi)}{\cos\phi} [/tex3]


Logo:

[tex3]\displaystyle \sf\dfrac{1}{2}gt = V_0 \cdot \dfrac{\sin(\alpha - \phi)}{\cos\phi} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf t = \dfrac{2V_0 \cdot \sin(\alpha - \phi)}{g \cdot \cos\phi} [/tex3]

Distância ao longo da Colina .

[tex3] \displaystyle \sf x = V_0 \cos\alpha \cdot t [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf x = V_0 \cos\alpha \cdot \dfrac{2V_0 \sin(\alpha - \phi)}{g \cos\phi} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf x = \dfrac{2V_0^2 \cos\alpha \sin(\alpha - \phi)}{g \cos\phi} [/tex3]

A distância ao longo da inclinação R é:

Sendo que:

[tex3] \displaystyle \sf R = \dfrac{x}{\cos\phi} [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \textcolor{#FF003F}{ R = \dfrac{2V_0^2 \cos\alpha \cdot \sin(\alpha - \phi)}{g \cos^2\phi} } [/tex3]