Ensino Médio ⇒ Equação do 2º grau Tópico resolvido

[Presa]

A equação de [tex3]ax^2+bx+\cancel{c}{\color{red}{-1}}=0[/tex3] admite raiz [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}-1[/tex3] e tem coeficientes racionais, então :

A) [tex3]a+b+c= 3-4 \sqrt{3} [/tex3]
B) [tex3]a+b+c= -5[/tex3]
C) [tex3]a+b+c= 11[/tex3]
D) [tex3]2a-b+c= 1[/tex3]
E) [tex3]3a-b-2c= -2[/tex3]

Resposta

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Gab : Letra E

[petrasMOD]

@Presa,
Gabarito errado(*verificar resoluçao abaixo com a correção do enunciado)
Se uma equação do segundo grau ax^2 + bx + c = 0 possui coeficientes racionais e uma de suas raízes é do tipo [tex3] m + \sqrt{n} [/tex3](onde [tex3]\sqrt{n}[/tex3] é irracional), então a outra raiz será obrigatoriamente o seu conjugado: [tex3] m - \sqrt{n}[/tex3].
[tex3]x_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Logo, a outra raiz será: [tex3]x_2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3].
Soma das raízes: [tex3] S = x_1 + x_2 = \left(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2[/tex3]
Produto das raízes [tex3]P = x_1 \cdot x_2 = \left(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (-1)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}[/tex3].
[tex3]x^2 - Sx + P = 0 \implies x^2 - (-2)x + \frac{1}{4} = 0 \implies x^2 + 2x + \frac{1}{4} = 0 \therefore 4x^2+8x+1=0[/tex3]
a = 4, b = 8 e c = 1
A) a+b+c = 4+8+1 = 13$ (Incorreta, pois pede um valor irracional).
B) a+b+c = 13 (Diferente de -5).
C) a+b+c = 13 (Diferente de 11).
D) 2a - b + c = 2(4) - 8 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 (Correta).
E) 3a - b - 2c = 3(4) - 8 - 2(1) = 12 - 8 - 2 = 2 (Diferente de -2).

[ProfLaplace]

@petrasMOD, para mim a questão deveria ser oficialmente anulada.
Qualquer equação do tipo [tex3]p(4x^2+8x+1)=0,[/tex3] com [tex3]p\in\mathbb{Q},[/tex3] satisfaria as condições do enunciado.
Observe que inclusive para [tex3]p=0[/tex3] a coisa fica satisfeita.
De fato a alternativa D bate no caso de [tex3]p=1,[/tex3]mas não há nenhuma alternativa que seja verdadeira para todo [tex3]p\in\mathbb{Q}.[/tex3]
E se [tex3]p=-1[/tex3] por exemplo, bateria com a E.

Dito isto, poderíamos arrumar o enunciado para obter determinada resposta.
Supondo que eles quisessem que fosse letra E mesmo, o enunciado poderia ser corrigido da seguinte forma:
"A equação do segundo grau [tex3]ax^2+bx-1=0[/tex3] admite raiz [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}-1[/tex3] e tem coeficientes racionais. Então:"

[ProfLaplace]

@Presa, se quiser também posso oferecer uma demonstração do teorema que o petras usou (Teorema das raízes irracionais). É interessante.
Abraço.

[petrasMOD]

@ProfLaplace,

ESsa questão é antiga. A última visita do usuário foi em 2022 entao provavelmente não participa mais. A demonstração será útil par outros usuários que visitarem a questão

[petrasMOD]

@ProfLaplace,
Sua observação está correta. Segue a nova resolução.
Soma: [tex3]S = x_1 + x_2 = (-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + (-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2[/tex3]
[tex3]S=-\frac{b}{a} = -2 \implies \mathbf{b = 2a}[/tex3]
Produto: [tex3]P = x_1 \cdot x_2 = (-1)^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]P=\frac{c}{a} = \frac{1}{4} \implies \mathbf{a = 4c}[/tex3].
Substituindo na relação do produto:a = 4 . (-1) = -4
b = 2 . (-4) -8
A equação resultante é: [tex3]-4x^2 - 8x - 1 = 0[/tex3].
portanto: (a = -4, b = -8, c = -1)
Teste das Alternativas
A)[tex3] a + b + c = 3 - 4\sqrt{3} \implies(-4) + (-8) + (-1) = -13 \neq 3 - 4\sqrt{3}[/tex3] (Incorreta)
B) [tex3]a + b + c = -5:(-4) + (-8) + (-1) = -13 \neq -5[/tex3] (Incorreta)
C) [tex3]a + b + c = 11:(-4) + (-8) + (-1) = -13 \neq 11[/tex3] (Incorreta)
D)[tex3] 2a - b + c = 1:2(-4) - (-8) + (-1) = -8 + 8 - 1 = -1 \neq 1[/tex3] (Incorreta)
E) [tex3]3a - b - 2c = -2:3(-4) - (-8) - 2(-1) = -12 + 8 + 2 = -2 = -2[/tex3] (CORRETA)