Pré-Vestibular ⇒ (UFES - 2004) Polinômios Tópico resolvido

[K1llua]

Considere o polinômio [tex3]P(z)=z^5+(a-1)z^4+(2-a)z^3-4z^2+(b+2)z-b[/tex3], sendo [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] números reais.

a) Seja [tex3]Q(z)[/tex3] o quociente da divisão de [tex3]P(z)[/tex3] por [tex3](z-1)[/tex3]. O polinômio [tex3]Q(z)[/tex3] tem uma raiz simples (isto é, com multiplicidade um), e a soma e o produto das outras raízes de [tex3]Q(z)[/tex3], consideradas suas multiplicidades, são [tex3](-2+i)[/tex3] e [tex3](2-2i)[/tex3], respectivamente, sendo [tex3]i[/tex3] a unidade imaginária. Determine os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3], e a referida raiz simples de Q(z).

b) Determine todas as raízes de [tex3]P(z)[/tex3] e suas respectivas multiplicidades.

Resposta

---

a) [tex3]a=3[/tex3]
[tex3]b=-4[/tex3]
raiz: [tex3]-1-i[/tex3]

b)[tex3] 1 (2), -2 (1), -1+i (1), -1-i (1)[/tex3]

Alguém poderia me ajudar com essa questão? Por favor.

[ProfLaplace]

Vamos lá.
Sabemos que (divisor vezes quociente) + resto = dividendo.
Além disso, o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor.
Como o divisor é [tex3](z-1),[/tex3] seu grau é 1, e dessa forma o resto deve necessariamente ser uma constante.
Chamaremos o resto de R.
Montando o esquema da divisão:
[tex3]P(z)=z^5+(a-1)z^4+(2-a)z^3-4z^2+(b+2)z-b=(z-1).Q(x)+R[/tex3]
Vamos trocar [tex3]z[/tex3] por 1 para obter o valor de R (ou use diretamente o Teorema do Resto se preferir).
[tex3]P(1)=1+(a-1)+(2-a)-4+b+2-b=R \Rightarrow P(1)=1+1-2=R \Rightarrow P(1)=0=R.[/tex3]
Esse raciocínio acima também nos mostra que 1 é raiz de [tex3]P[/tex3], já que [tex3]P(1)=0.[/tex3]
Sendo assim, temos:
[tex3]P(z)=z^5+(a-1)z^4+(2-a)z^3-4z^2+(b+2)z-b=(z-1).Q(x)[/tex3]
Podemos agora obter o polinômio [tex3]Q(x)[/tex3] fazendo a divisão de [tex3]P(z)[/tex3] por [tex3](z-1).[/tex3]
Podemos usar o Método da Chave ou o Dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Neste caso é mais rápido usar o Ruffini.

...|....1....(a-1)....(2-a)....(-4)....(b+2)....(-b)
.1.|...........1........a........2.......(-2)......b
----------------------------------------------------------
........1......a........2........(-2)......b.......0

O último zero é apenas o resto da divisão.
Dessa forma, temos [tex3]Q(z)=z^4+az^3+2z^2-2z+b.[/tex3]
Vamos dizer que [tex3]z_1,z_2,z_3,z_4[/tex3] são as raízes de [tex3]Q(x),[/tex3] onde [tex3]z_1[/tex3] é a referida raiz simples.
É dito então que [tex3]z_2+z_3+z_4=-2+i[/tex3] e [tex3]z_2z_3z_4=2-2i.[/tex3]
Usando as Relações de Girard, temos:
[tex3]\begin{cases}
z_1+z_2+z_3+z_4=-a \\
z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4=2\\
z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_3z_3z_4=2\\
z_1z_2z_3z_4=b
\end{cases}[/tex3]
OBS: Escrevi as 4 relações de Girard só pra ficar completo, caso queira relembrar elas. No entanto, só usaremos a primeira e a última.
Da primeira, temos que [tex3]z_1+(-2+i)=-a \Rightarrow z_1=(2-a)-i.[/tex3]
Da última, [tex3]z_1(2-2i)=b \Rightarrow z_1=\frac{b}{2-2i}\cdot\frac{2+2i}{2+2i} \Rightarrow[/tex3]
[tex3]z_1=\frac{b(2+2i)}{8} \Rightarrow z_1=\frac{b(1+i)}{4} \Rightarrow z_1=\frac{b}{4}+\frac{b}{4}i.[/tex3]
Comparando as duas expressões para [tex3]z_1,[/tex3] temos o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
2-a=\frac{b}{4}\\
-1=\frac{b}{4}
\end{cases}[/tex3]
Segue que [tex3]b=-4[/tex3] e [tex3]a=3.[/tex3]
Temos então [tex3]z_1=(2-3)-i \Rightarrow z_1=-1-i.[/tex3]
Com isto finalizamos o item a).

Vamos prosseguir para achar as outras raízes de [tex3]Q(x).[/tex3]
Pelo Teorema das raízes complexas, segue que o conjugado de [tex3]z_1[/tex3] também é raiz.
Podemos então dizer que [tex3]z_2=-1+i.[/tex3]
Além disso, sabemos que [tex3]Q(z)=z^4+3z^3+2z^2-2z-4.[/tex3]
Vc pode observar facilmente, fazendo uma conta de cabeça, que 1 também é raiz de [tex3]Q(x).[/tex3]
Vamos dizer então que [tex3]z_3=1.[/tex3]
Falta só achar [tex3]z_4.[/tex3]
Vou usar a primeira equação que veio do Girard:
[tex3](-1-i)+(-1+i)+1+z_4=-3 \Rightarrow -1+z_4=-3 \Rightarrow z_4=-2.[/tex3]
Agora temos as 4 raízes de [tex3]Q(z): -1-i, -1+i, 1, -2.[/tex3]
Para obter as raízes de [tex3]P(z),[/tex3] basta acrescentar aquela primeira raiz 1 que encontramos.
Ou seja, as raízes de [tex3]P(z)[/tex3] são: [tex3]-1-i, -1+i, 1, -2, 1.[/tex3]
Resposta final do item b):
As raízes de [tex3]P(z)[/tex3] são [tex3]-1-i, -1+i, 1, -2,[/tex3] sendo a raiz 1 com multiplicidade 2 e todas as outras com multiplicidade 1.

[K1llua]

Vamos lá.
Sabemos que (divisor vezes quociente) + resto = dividendo.
Além disso, o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor.
Como o divisor é [tex3](z-1),[/tex3] seu grau é 1, e dessa forma o resto deve necessariamente ser uma constante.
Chamaremos o resto de R.
Montando o esquema da divisão:
[tex3]P(z)=z^5+(a-1)z^4+(2-a)z^3-4z^2+(b+2)z-b=(z-1).Q(x)+R[/tex3]
Vamos trocar [tex3]z[/tex3] por 1 para obter o valor de R (ou use diretamente o Teorema do Resto se preferir).
[tex3]P(1)=1+(a-1)+(2-a)-4+b+2-b=R \Rightarrow P(1)=1+1-2=R \Rightarrow P(1)=0=R.[/tex3]
Esse raciocínio acima também nos mostra que 1 é raiz de [tex3]P[/tex3], já que [tex3]P(1)=0.[/tex3]
Sendo assim, temos:
[tex3]P(z)=z^5+(a-1)z^4+(2-a)z^3-4z^2+(b+2)z-b=(z-1).Q(x)[/tex3]
Podemos agora obter o polinômio [tex3]Q(x)[/tex3] fazendo a divisão de [tex3]P(z)[/tex3] por [tex3](z-1).[/tex3]
Podemos usar o Método da Chave ou o Dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Neste caso é mais rápido usar o Ruffini.

...|....1....(a-1)....(2-a)....(-4)....(b+2)....(-b)
.1.|...........1........a........2.......(-2)......b
----------------------------------------------------------
........1......a........2........(-2)......b.......0

O último zero é apenas o resto da divisão.
Dessa forma, temos [tex3]Q(z)=z^4+az^3+2z^2-2z+b.[/tex3]
Vamos dizer que [tex3]z_1,z_2,z_3,z_4[/tex3] são as raízes de [tex3]Q(x),[/tex3] onde [tex3]z_1[/tex3] é a referida raiz simples.
É dito então que [tex3]z_2+z_3+z_4=-2+i[/tex3] e [tex3]z_2z_3z_4=2-2i.[/tex3]
Usando as Relações de Girard, temos:
[tex3]\begin{cases}
z_1+z_2+z_3+z_4=-a \\
z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4=2\\
z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_3z_3z_4=2\\
z_1z_2z_3z_4=b
\end{cases}[/tex3]
OBS: Escrevi as 4 relações de Girard só pra ficar completo, caso queira relembrar elas. No entanto, só usaremos a primeira e a última.
Da primeira, temos que [tex3]z_1+(-2+i)=-a \Rightarrow z_1=(2-a)-i.[/tex3]
Da última, [tex3]z_1(2-2i)=b \Rightarrow z_1=\frac{b}{2-2i}\cdot\frac{2+2i}{2+2i} \Rightarrow[/tex3]
[tex3]z_1=\frac{b(2+2i)}{8} \Rightarrow z_1=\frac{b(1+i)}{4} \Rightarrow z_1=\frac{b}{4}+\frac{b}{4}i.[/tex3]
Comparando as duas expressões para [tex3]z_1,[/tex3] temos o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
2-a=\frac{b}{4}\\
-1=\frac{b}{4}
\end{cases}[/tex3]
Segue que [tex3]b=-4[/tex3] e [tex3]a=3.[/tex3]
Temos então [tex3]z_1=(2-3)-i \Rightarrow z_1=-1-i.[/tex3]
Com isto finalizamos o item a).

Vamos prosseguir para achar as outras raízes de [tex3]Q(x).[/tex3]
Pelo Teorema das raízes complexas, segue que o conjugado de [tex3]z_1[/tex3] também é raiz.
Podemos então dizer que [tex3]z_2=-1+i.[/tex3]
Além disso, sabemos que [tex3]Q(z)=z^4+3z^3+2z^2-2z-4.[/tex3]
Vc pode observar facilmente, fazendo uma conta de cabeça, que 1 também é raiz de [tex3]Q(x).[/tex3]
Vamos dizer então que [tex3]z_3=1.[/tex3]
Falta só achar [tex3]z_4.[/tex3]
Vou usar a primeira equação que veio do Girard:
[tex3](-1-i)+(-1+i)+1+z_4=-3 \Rightarrow -1+z_4=-3 \Rightarrow z_4=-2.[/tex3]
Agora temos as 4 raízes de [tex3]Q(z): -1-i, -1+i, 1, -2.[/tex3]
Para obter as raízes de [tex3]P(z),[/tex3] basta acrescentar aquela primeira raiz 1 que encontramos.
Ou seja, as raízes de [tex3]P(z)[/tex3] são: [tex3]-1-i, -1+i, 1, -2, 1.[/tex3]
Resposta final do item b):
As raízes de [tex3]P(z)[/tex3] são [tex3]-1-i, -1+i, 1, -2,[/tex3] sendo a raiz 1 com multiplicidade 2 e todas as outras com multiplicidade 1.

Obrigada mestre!