Ensino Médio ⇒ Potenciação Tópico resolvido

[Felipe22]

(CPII) -

x^x^1/3 = 1/3

GAB: X = 1/27

[ProfLaplace]

Essa equação na verdade possui duas soluções, que podem ser achadas usando-se a função W de Lambert.
Mas acho que você não deve estar familiarizado com a função W, certo?
De qualquer forma, podemos achar a solução [tex3]\frac{1}{27}[/tex3] por inspeção, ser utilizar a função W.
Vou fazer dessa forma mais simples, mas lembre-se que só iremos achar uma das duas soluções.
Dá para fazer na incógnita x mesmo, ou também fazendo uma troca de variáveis.
Vou fazer na incógnita x mesmo, que é um pouco mais rápido.
A ideia é elevar os dois lados da equação à [tex3]\frac{1}{3},[/tex3] para obter dois números iguais na potência da direita.
Vamos fazer isso, supondo que nossa solução [tex3]x[/tex3] é positiva:
[tex3]x^{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{3} \iff {\left(x^{x^{\frac{1}{3}}}\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{3}} \iff x^{\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{3}} \iff (x^{\frac{1}{3}})^{(x^{\frac{1}{3}})}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}.[/tex3]
Obs: acima eu usei duas vezes a propriedade de potência que diz que [tex3](a^b)^c=a^{bc}.[/tex3]
Olhando a última igualdade, podemos deduzir por comparação que a equação fica satisfeita se [tex3]x^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}.[/tex3]
Lembre-se de que essa é uma possível solução, e não obrigatoriamente a única.
Elevando os dois lados ao cubo, temos:
[tex3]\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3=\left(\frac{1}{3}\right)^3 \Rightarrow x=\frac{1}{27}.[/tex3]
Então fica provado que [tex3]x=\frac{1}{27}[/tex3] é uma possível solução!

Outra observação: como citei, outra alternativa seria você ter feito a substituição [tex3]x^{\frac{1}{3}}=y.[/tex3]
Fazendo isso o processo fica um pouquinho mais longo, mas você também evita trabalhar com muito expoente fracionário.
Se quiser tente fazer por este caminho e veja se chega na mesma resposta.

E caso queira que eu ache todas as soluções usando a função W de Lambert me avise também.