Ensino Médio ⇒ Círculos

[athineias]

Na figura abaixo, no triângulo ABC, de perímetro 32 e base BC = 11, está inscrito um círculo de centro O. Se o segmento DE é tangente a esse mesmo círculo, determine o perímetro do triângulo ADE.

[ProfLaplace]

Nomeei os pontos de tangência de F,G,H,I, conforme mostra minha figura.
Como [tex3]BC=11,[/tex3] segue que [tex3]AB+AC=21.[/tex3]

Para resolver essa questão, será importante você lembrar da teoria das relações métricas na circunferência.
A gente aqui irá usar a seguinte propriedade:
Se a gente pegar um ponto exterior à uma circunferência e traçar dois segmentos saindo desse ponto e tangenciando a circunferência, ambos os segmentos terão o mesmo comprimento.
Com base nessa propriedade, podemos afirmar várias coisas: [tex3]BF=BI, CH=CI, DF=DG, EG=EH, AF=AH.[/tex3]
Agora basta manipular todas essas equações para achar nossa resposta.
Ele quer que calculemos [tex3]P=AD+DE+AE.[/tex3]
Vamos desmembrar e depois reagrupar de forma diferente.
[tex3]P=AD+DG+EG+AE=AD+DF+EH+AE=AF+AH.[/tex3]
Temos também, por outro lado:
[tex3]AB+AC=21 \Rightarrow AF+BF+AH+HC=21 \Rightarrow AF+BI+AH+IC=21 \Rightarrow[/tex3]
[tex3]AF+AH+BC=21 \Rightarrow AF+AH+11=21 \Rightarrow AF+AH=10.[/tex3]
Juntando tudo, segue que [tex3]P=10.[/tex3]