Ensino Médio ⇒ geometria analitica Tópico resolvido

[princeandrews]

No triangulo ABC a circunferencia inscrita divide a mediana AM em tres partes iguais . Determineos lados desse triangulo sabendo que sua area é igual a

6 [tex3]\sqrt{14}[/tex3]

Alguém ??

[petrasMOD]

@princeandrews,
AB = c, BC = a e AC = b
Seja [tex3]m_a[/tex3] a mediana AM.
A circunferência inscrita intercepta AM nos pontos P e Q tais que AP = PQ = QM =[tex3] \frac{m_a}{3}[/tex3].
Seja E o ponto de tangência da circunferência com o lado c. O segmento AE = p - a.(p=semiperímetro)
[tex3]{Pot}(A) = AP \cdot AQ = {\underbrace{AE}_{*}}^2 \implies \frac{m_a}{3} \cdot \frac{2m_a}{3} = (p - a)^2 \implies \mathbf{\frac{2m_a^2}{9} = (p - a)^2} \quad \text{(I)}[/tex3]
Seja D o ponto de tangência com o lado a. Como M é ponto médio de BC, a distância [tex3]
MD = |\underbrace{CD}_{**} - MC|\implies MD = \left| (p - c) - \frac{a}{2} \right|\\
p = \frac{a + b + c}{2}:MD = \left| \left( \frac{a + b + c}{2} - c \right) - \frac{a}{2} \right|= \left| \frac{a + b + c - 2c - a}{2} \right|\\\therefore MD = \left| \frac{b - c}{2} \right|
\\{Pot}(M) = MQ \cdot MP = MD^2 \implies \frac{m_a}{3} \cdot \frac{2m_a}{3} =\\ \left(\frac{b - c}{2}\right)^2 \implies \mathbf{\frac{2m_a^2}{9} = \frac{(b - c)^2}{4}} \quad \text{(II)}[/tex3].
[tex3](I) = (II):(p - a)^2 = \frac{(b - c)^2}{4} \implies 2(p - a) = b - c (III)\implies (b + c - a) = b - c \implies \mathbf{a = 2c}[/tex3]
Pelo Teorema de Apolônio na mediana [tex3]m_a:b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2} \implies a = 2c:b^2 + c^2 = 2m_a^2 + 2c^2 \implies \mathbf{2m_a^2 = b^2 - c^2}[/tex3]
Substituindo [tex3]2m_a^2 [/tex3]na equação (I) e usando de (III) [tex3]p - a = \frac{b - c}{2}[/tex3]:
[tex3]\frac{b^2 - c^2}{9} = \frac{(b - c)^2}{4} \implies \frac{(b - c)(b + c)}{9} = \frac{(b - c)^2}{4}[/tex3]

[tex3](b - c):4(b + c) = 9(b - c) \implies 4b + 4c = 9b - 9c \implies 5b = 13c \implies \mathbf{b = \frac{13c}{5}}\\[/tex3]

Temos a proporção a : b : c [tex3]\implies (2c) : \left(\frac{13c}{5}\right) : (c)\implies 2c : \frac{13c}{5} : c (\times\frac{5}{c}) \therefore 10 : 13 : 5 [/tex3].
Seja a = 10k, b = 13k, c = 5k. O semiperímetro é p = 14k.
Pela fórmula de Heron:[tex3]S = \sqrt{14k(14k-10k)(14k-13k)(14k-5k)} = \sqrt{14k \cdot 4k \cdot k \cdot 9k} = \sqrt{504k^4} = 6k^2\sqrt{14}[/tex3]
Como a área fornecida é [tex3]6\sqrt{14}:6k^2\sqrt{14} = 6\sqrt{14} \implies k^2 = 1 \therefore k = 1[/tex3]
Portanto os lados do triângulo:[tex3]a = 10;b = 13;c = 5[/tex3]

*Para demonstrar que AE = p - a
Sejam os pontos de tangência:D no lado BC, E no lado AB, F no lado AC
AE = AF = x
BE = BD = y
CD = CF = z
c = x + y (Lado AB)
a = y + z (Lado BC)
b = x + z (Lado AC)
O perímetro total 2p = a + b + c
Substituindo as expressões com x, y e z: [tex3]2p = (y + z) + (x + z) + (x + y) \implies 2p = 2x + 2y + 2z \implies p = x+y+z[/tex3]
a = y + z.Substituindo a na equação do semiperímetro:[tex3]p = x + a \implies x = p - a \therefore \boxed{\mathbf{AE = p - a}}[/tex3]

**Analogamente CD = p-c