IME / ITA ⇒ Geometria plana Tópico resolvido

[TimóteoCruz]

Os dois triângulos da figura são congruentes, ambos isósceles com base e altura medindo 1. O triângulo da esquerda foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas paralelas à sua base e o da direita foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas perpendiculares à sua base. A distância entre as duas retas perpendiculares à base no triângulo da direita é igual a

Resposta

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(3-√6)/3

[ProfLaplace]

Mandei uma imagem onde eu nomeei os outros pontos.
Vou digitar a resolução completa agora.
Chame [tex3]EF=x.[/tex3]
Veja que este valor de x é justamente a distância pedida pelo enunciado.
Como [tex3]AB=1,[/tex3] segue que [tex3]AE+FB=1-x.[/tex3]
Como [tex3]AE=FB,[/tex3] segue que [tex3]AE=FB=\frac{1-x}{2}.[/tex3]
Além disso, [tex3]AD=\frac{1}{2}.[/tex3]
O triângulo AEG é semelhante ao ADC pelo critério AA.
Então [tex3]\frac{GE}{AE}=\frac{DC}{AD} \Rightarrow GE=\frac{1}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1-x}{2} \Rightarrow GE=1-x.[/tex3]
Calcule agora a área do triângulo AEG fazendo base vezes altura sobre dois:
[tex3]A_{AEG}=\frac{AE\cdot EG}{2}=\frac{1-x}{2}\cdot \frac{1-x}{2}=\frac{(1-x)^2}{4}.[/tex3]

Por outro lado, sabemos a base e altura do triângulo ABC, de forma que facilmente temos sua área:
[tex3]A_{ABC}=\frac{1\cdot 1}{2} = \frac{1}{2}.[/tex3]
Como as três áreas são iguais, segue que a área do AEG é um terço disto:
[tex3]A_{AEG}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.[/tex3]

Agora é só igualar as duas expressões que obtivemos para [tex3]A_{AEG}:[/tex3]
[tex3]\frac{(1-x)^2}{4}=\frac{1}{6} \Rightarrow (1-x)^2=\frac{4}{6} \Rightarrow 1-x=\pm\sqrt{\frac{4}{6}} \Rightarrow 1-x=\pm\frac{2}{\sqrt{6}}.[/tex3]
Racionalize o denominador:
[tex3]1-x=\pm\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \Rightarrow 1-x=\pm \frac{2\sqrt{6}}{6} \Rightarrow 1-x=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow x=1\mp\frac{\sqrt{6}}{3}.[/tex3]
A opção com o + deve ser descartada, pois pelo desenho é claro que devemos ter [tex3]0<x<1.[/tex3]
Logo ficamos com:
[tex3]x=1-\frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow x=\frac{3}{3}-\frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow x=\frac{3-\sqrt{6}}{3}.[/tex3]
Vc pode checar que de fato, para este valor de x, tem-se [tex3]0<x<1.[/tex3]

[TimóteoCruz]

Valeu, irmão! Consegui compreender!