Demonstrações ⇒ Demonstração - Bissetriz de uma corda em círculos tangentes

[ArquiBaude]

Considere a figura a seguir, nela as duas circunferências são tangentes internamente em A, a corda BC tange a circunferência menor em T. O segmento AT é prolongado até A'.

Nessa configuração AA' é a bissetriz interna do ângulo [tex3]\angle{BAC}[/tex3]. Com efeito, o converso é válido: a bissetriz do ângulo [tex3]\angle{BAC}[/tex3] passa através do ponto T.

Demonstração:

Considere a reta tangente a ambas circunferências em A. O ângulo agudo ( mostrado em verde ) formado por C'A e a reta tangente será o mesmo ângulo [tex3]\angle C'TA[/tex3] e [tex3]\angle CA'A[/tex3], de onde se conclui: TC' // A'C.

O argumento análogo, leva a: TB' // A'B

Seja [tex3]\angle BAT = x[/tex3], pelo ângulo inscrito: [tex3]\angle BCA' = x[/tex3], pelo paralelismo: [tex3]\angle CTC' = x[/tex3], pelo ângulo inscrito: [tex3]\angle C'AT = x[/tex3]

Logo, [tex3]\boxed{ \text{AA' é a bissetriz interna do ângulo} \space \angle{BAC} } [/tex3]

Para demonstrar o converso pode-se fazer os mesmos passos na ordem inversa, ou argumentar que como só há uma bissetriz interna, então como foi mostrado que a reta que passa por T é a bissetriz, a bissetriz só pode passar por T. Outro modo é assumir que a bissetriz passa por um ponto T', e mostrar que T' = T.

Nesse vídeo é feita a demonstração do converso detalhadamente e do caso para circunferências externamente tangentes (Canal: OptionalProblem)

Corolário 1 :

Como consequência imediata tem-se que [tex3]\triangle BA'C[/tex3] é isósceles, pois [tex3]\angle{ A'AC} = \angle A'BC = \angle A'CB = x[/tex3]

Corolário 2:

Seja A'D o segmento de reta a partir de A' tangente a circunferência menor em D. A'D = A'B = A'C.

Potência de ponto para A'D:

[tex3]A'D^2 = A'T * A'A[/tex3]

Semelhança entre [tex3]\triangle BA'T \sim \triangle AA'B[/tex3]:

[tex3]A'B^2 = A'T * A'A[/tex3]

[tex3]\boxed{A'D = A'B }[/tex3]

Tópicos relacionados:

Círculo mixtilinear, em especial que E-I-F são colineares, com auxílio do teorema de Pascal.

Uma questão postada no fórum lidando com o caso BA'C equilátero

Outra questão do fórum, que pode ser demonstrada sem o uso da inversão.

Questão reavivada recentemente, que pode ser vista como uma aplição da questão acima.

[DaviLeo17]

O que é um “converso”?