Ensino Médio ⇒ Trigonometria

[mlcosta]

Uma pessoa decidiu utilizar parte do seu tempo livre para fazer um tapete circular, como o representado na figura, iniciando com um círculo central de 1 cm de raio que é contornado por faixas -- coroas circulares -- de 1 cm de largura cada.

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Considere no gráfico abaixo uma representação da terceira faixa do tapete em um sistema de coordenadas cartesianas com origem coincidindo com o centro do círculo inicial e P, Q e R ponto da referida faixa.

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Com base nessa informação, pode-se afirmar que as medidas dos cossenos dos ângulos internos do triângulo PQR são:

01) [tex3]\frac{-\sqrt{2}}{10}[/tex3], [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3], [tex3]\frac{4}{5}[/tex3]
02) [tex3]\frac{- 4}{5}[/tex3], [tex3]\frac{\sqrt{2}}{5}[/tex3], [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
03) [tex3]\frac{- 3}{5}[/tex3], [tex3]\frac{\sqrt{2}}{5}[/tex3], [tex3]\frac{3}{4}[/tex3]
04) [tex3]\frac{-\sqrt{2}}{2}[/tex3], [tex3]\frac{\sqrt{2}}{10}[/tex3], [tex3]\frac{3}{5}[/tex3]

Tenho a impressão que esta questão tem algum erro. sem fazer conta alguma, o ângulo em Q é reto e os outros dois medem 45°. A questão tem cinco alternativos mas as duas primeiras t~em as mesmas respostas., por isso só coloquei quatro.

[petrasMOD]

@mlcosta,

Correções:
a primeira alternativa da questão seria [tex3]\frac{-7\sqrt{2}}{10}, \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{4}{5}[/tex3]
Imagem correta

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[tex3]\triangle POQ: PQ^2 =PO^2+OQ^2 = 4^2+3^2 = 25 \implies PQ = 5\\
cos \angle OPQ = \frac{OP}{PQ} = \boxed{\frac{4}{5}}\\
\triangle ORQ: QR^2 = OR^2+OQ^2 = 3^2+3^2 = 18 \implies QR = 3\sqrt2\\
cos\angle ORQ = \frac{OR}{QR}=\frac{3}{3\sqrt2}=\boxed{\frac{\sqrt2}{2}} \\
\triangle QPR: T.Cossenos: PR^2 = PQ^2+QR^2-2PQ.QR(cos\angle PQR)\\
(4+3)^2 = 5^2+(3\sqrt2)^2-2.5.3\sqrt2.cos\angle PQR \implies 49-25-18=30\sqrt2cos\angle PQR\\
cos \angle PQR = -\frac{6}{30 \sqrt2}=-\frac{1}{5\sqrt2} = \boxed{-\frac{\sqrt2}{10}} [/tex3]