Pré-Vestibular ⇒ (Albert Einsten 2026) - Geometria Analítica - Área triângulo

[dudasales]

Considere k como uma constante real positiva. No plano cartesiano, os pontos A(–1, 4), B(1, –1) e C(k, 0) determinam um triângulo de área 11. A área do quadrado que tem como um dos lados o segmento AC vale

(A) 52.
(B) 40.
(C) 44.
(D) 36.
(E) 48

[dudasales]

@dudasales,
A área do triângulo :
[tex3]\frac{1}{2}D \begin{vmatrix}
-1 &4 &1 \\
1 &-1 & 1 \\
k & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}[/tex3]
[tex3]D = [(-1 . -1 . 1) + (4 . 1 . k) + (1 . 1 . 0)] - [(k . -1 . 1) + (0 . 1 . -1) + (1 . 1 . 4)]\\
D = [1 + 4k + 0] - [-k + 0 + 4]\\
D = 5k - 3[/tex3]
Como a Área = 11, temos:
[tex3](\frac{1}{2}) . |5k - 3| = 11 \implies |5k - 3| = 22[/tex3]
Para k positivo:
[tex3]5k - 3 = 22 \implies 5k = 25 \therefore k = 5[/tex3]
O ponto C é (5, 0).
2. Calculando a área do quadrado (Lado AC²):
A área do quadrado é o quadrado da distância entre A(-1, 4) e C(5, 0):
[tex3] d_ {AC} = \sqrt {(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} \\
Área = (d_{AC})^2= {(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} = (5 - (-1))^2 + (0 - 4)^2 = (6)^2 + (-4)^2\\
Área = 36 + 16 = \boxed{ 52}
[/tex3]

.