IME / ITA ⇒ Geometria plana Tópico resolvido

[TimóteoCruz]

O quadrilátero convexo ABCD está inscrito em uma circunferência de raio 5 cm. Se AB = 8 cm, AC = 3 10 cm, CD = 6 cm e ∠ADC < 90º, calcule a área do quadrilátero.

Resposta

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39 cm^2

[ProfLaplace]

Correção no enunciado: [tex3]AC=3\sqrt{10}\, cm.[/tex3]

Há várias formas de resolver, mas vou resolver da forma que acho mais intuitiva.
Faça um desenho para acompanhar.
Vou passar o grosso da solução, e você preenche as lacunas que faltarem, ok?

Vamos chamar [tex3]\angle{ADC}=\alpha,[/tex3] com [tex3]0º<\alpha<90º.[/tex3]
Coloque também [tex3]AD=x[/tex3] e [tex3]BC=y.[/tex3]
Observe que o triângulo ACD está inscrito na circunferência também, então podemos usar a Lei dos Senos (versão completa):
[tex3]\frac{AC}{\sen{\alpha}}=2R,[/tex3] onde [tex3]R[/tex3] é o raio da circunferência circunscrita.
[tex3]\frac{3\sqrt{10}}{\sen{\alpha}}=2\cdot 5=10 \Rightarrow \sen{\alpha}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.[/tex3]
Pela Relação Fundamental da Trigonometria, podemos obter o cosseno desse alpha, lembrando que o cosseno é positivo pois é dito que alpha é agudo.
Você vai chegar em [tex3]\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{10}}{10}.[/tex3]

Agora aplique a Lei dos Cossenos no triângulo ACD, usando AC como o lado isolado:
[tex3](3\sqrt{10})^2=6^2+x^2-2.6.x.\frac{\sqrt{10}}{10}.[/tex3]
Se vc der uma arrumada e fizer o Bhaskara, vc vai chegar em [tex3]x=3\sqrt{10} \,cm.[/tex3]

Agora vc pode achar a área do triângulo ACD usando a fórmula da área com seno:
[tex3]A_{ACD}=\frac{3\sqrt{10}.6.\frac{3\sqrt{10}}{10}}{2} \Rightarrow A_{ACD}=27\, cm^2. [/tex3]

Agora vamos buscar a área do outro triângulo, o ABC.

Primeiro lembre-se de que, num quadrilátero inscritível, ângulos opostos são sempre suplementares.
Dessa forma, temos [tex3]\angle{ABC}=180º-\alpha.[/tex3]

Usando trigonometria (circunferência trigonométrica ou as fórmulas), sabemos que:
[tex3]\sen{(180º-\alpha)}=\sen{\alpha}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.[/tex3]
[tex3]\cos{(180º-\alpha)}=-\cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{10}}{10}.[/tex3]

Faça Lei dos Cossenos no triângulo ABC, usando AC como "referência":
[tex3](3\sqrt{10})^2=8^2+y^2-2.8.y.\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right).[/tex3]
Se vc der uma arrumada e fizer o Bhaskara, vc vai chegar em [tex3]y=\sqrt{10} \,cm.[/tex3]

Use novamente a fórmula da área com seno:
[tex3]A_{ABC}=\frac{8.\sqrt{10}.\frac{3\sqrt{10}}{10}}{2} \Rightarrow A_{ACD}=12\, cm^2. [/tex3]

Agora, para finalizar, é só somar as áreas dos dois triângulos:
[tex3]A_{ABCD}=A_{ACD}+A_{ABC} \Rightarrow A_{ABCD}=27+12 \Rightarrow A_{ABCD}=39\,cm^2.[/tex3]