Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido

[DDPL2008]

02) Resolva a equação -3x³+27x²-72x+60 = 0, se ela possui duas raízes iguais.


Eu tive uma duvida nessa questão, onde eu usei as relações de girard
(R simboliza as raízes)
Raíz 1+Raíz 2+Raíz 3= −(B/A)
R2+R2+R3= −(27/−3)
2 R2+R3=9
R3=9−2 R2

depois eu usei essa relação

R1×R2 + R1×R3 + R2×R3 = C/A
R2×R2+R2(9−2 R2)+R2×(9−2 R2)= -72/-3
R2²+9R2-2 R2²+9R2−2 R2²=24
-3R2²+18R2=24
-3R2²+18R2−24=0

quando descobri essa equação passei ela pela formula de bhaskára

Δ=18²−4×(−3)×(−24)
Δ=18²+12×(−24)
Δ= 324-288
Δ=36

eu obti os numeros 2 e 4 para as raízes 1 e 2. e 5 e 1 para a raíz 3, testando os resultados na equação R3= 9-2R2.


não acho q meus resultados estão certos e por isso peço ajuda

[DDPL2008]

Olá, @DDPL2008.

Seu raciocínio está corretíssimo! Só está faltando um detalhe.

No final você falou:

eu obti os numeros 2 e 4 para as raízes 1 e 2. e 5 e 1 para a raíz 3

Na verdade, você não obteve 2 e 4 para as raízes 1 e 2. Isso não pode acontecer, pois sua hipótese inicial é que [tex3]R_1=R_2[/tex3]. Ou seja, o que você encontrou foram dois possíveis triozinhos de raízes: um caso em que [tex3]R_1=R_2=4[/tex3] e outro em que [tex3]R_1=R_2=2[/tex3].

Portanto, você chegou aos seguintes triozinhos de raízes:

[tex3]R_1=4,\,R_2=4,\,R_3=1[/tex3]

e

[tex3]R_1=2,\,R_2=2,\,R_3=5[/tex3]

O fato de você ter usado apenas duas das três relações de Girard (a soma das raízes e a soma dos produtos duas a duas) pode ter introduzido raízes estranhas no cálculo (raízes que não são raízes de verdade). Por isso, é preciso testar cada triozinho de raízes na última relação de Girard que ainda não foi utilizada.

Agora, para saber qual desses dois triozinhos é o correto, temos que testar na relação de Girard que dá o produto das três raízes:

[tex3]R_1\cdot R_2\cdot R_3 = \frac{-60}{-3}[/tex3]

[tex3]R_1\cdot R_2\cdot R_3 = 20[/tex3]

No primeiro triozinho, o produto dá [tex3]4\cdot 4\cdot 1=16[/tex3], o que não satisfaz a relação. Ou seja, aqui não é a solução.

No segundo triozinho, o produto dá [tex3]2\cdot 2\cdot 5=20[/tex3]. Esse é o correto.

Portanto, as raízes da equação polinomial apresentada são [tex3]R_1=2,\,R_2=2 \text{ e } R_3=5[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju

[DDPL2008]

Muito obrigado pela sua ajuda, professor Caju

[DDPL2008]

De nada, @DDPL2008.

Se não ficou nenhuma dúvida, não esqueça de marcar o tópico como resolvido, clicando no ícone do tick verde na minha mensagem

Grande abraço,
Prof. Caju